Системы множеств: различия между версиями
Liza22 (обсуждение | вклад) |
Liza22 (обсуждение | вклад) |
||
Строка 5: | Строка 5: | ||
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. | * '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. | ||
− | Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е. | + | Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е. |
\[ | \[ | ||
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha . | x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha . | ||
Строка 12: | Строка 12: | ||
* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. | * '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. | ||
− | Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е. | + | Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е. |
\[ | \[ | ||
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha . | x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha . | ||
Строка 31: | Строка 31: | ||
* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$. | * '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$. | ||
+ | == Кольцо == | ||
+ | * '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$: | ||
+ | \[1) A \Delta B \in K,\] | ||
+ | |||
+ | \[2) A \cap B \in K.\] | ||
+ | |||
+ | Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида | ||
+ | \[ | ||
+ | C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k | ||
+ | \] | ||
+ | |||
+ | Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств. | ||
+ | |||
+ | * '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$\mathfrak{S}$$, если оно принадлежит $$\mathfrak{S}$$ и если для любого $$A \in \mathfrak{S}$$ имеет место равенство: | ||
+ | \[ | ||
+ | A \cap E=A. | ||
+ | \] | ||
+ | |||
+ | Таким образом, единица системы множеств $$\mathfrak{S}$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$\mathfrak{S}$$ множества. | ||
+ | |||
+ | * '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'' множеств. | ||
+ | |||
+ | ===Примеры=== | ||
+ | 1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$. | ||
+ | |||
+ | 2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$. | ||
+ | |||
+ | 3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно. | ||
+ | |||
+ | 4. Система всех ограниченных подмножеств числовой прямой является кольцом множеств, не содержащим единицы. |
Версия 22:46, 3 ноября 2023
Содержание
Аннотация
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.
Операции над множествами
- Определение. Объединением множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.
Множество $$C$$ называется объединением множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е. \[ x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha . \]
- Определение. Пересечением множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.
Множество $$C$$ называется пересечением множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е. \[ x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha . \]
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами:
1) коммутативность: \[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]
2) ассоциативность: \[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]
3) дистрибутивность: \[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]
- Определение. Разностью множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.
- Определение. Симметрической разностью множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
Кольцо
- Определение. Непустая система множеств $$K$$ называется кольцом, если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]
\[2) A \cap B \in K.\]
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. Таким образом, кольцо множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида \[ C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k \]
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.
- Определение. Множество $$E$$ называется единицей системы множеств $$\mathfrak{S}$$, если оно принадлежит $$\mathfrak{S}$$ и если для любого $$A \in \mathfrak{S}$$ имеет место равенство:
\[ A \cap E=A. \]
Таким образом, единица системы множеств $$\mathfrak{S}$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$\mathfrak{S}$$ множества.
- Определение. Кольцо множеств с единицей называется алгеброй множеств.
Примеры
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.
4. Система всех ограниченных подмножеств числовой прямой является кольцом множеств, не содержащим единицы.