Неподвижные точки системы

Неподвижные точки системы

Пусть задана динамическая система с дискретным временем

\begin{equation} \label{sist1} N_{t+1}=f(N_{t}), N_{t}\in\mathbb{R}, f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation}

Определение 1. Решения задачи (\ref{sist1}), не изменяющиеся с течением времени $$t$$ называются неподвижными точками отображения (\ref{sist1}). Неподвижные точки определяются как решение уравнения $$N=f(N)$$.

Заметим, что нередко функцию $$f(N)$$ представляют в виде $$f(N)=NF(N)$$, чтобы подчеркнуть существование тривиальной неподвижной точки $$N^{*}=0$$. В этом случае остальные неподвижные точки — решения уравнения $$F(N)$$.

Графически неподвижные точки — это точки пересечения графика функции $$f(N)$$ и биссектрисы первого координатного угла $$N_{t+1} = N_{t}$$ (напомним, что нас интересуют только неотрицательные решения).

Устойчивость неподвижных точек

Неподвижная точка $$N^{*}$$ отображения (\ref{sist1}) называется устойчивой по Ляпунову, если для любого $$\varepsilon > 0$$ существует такое $$\delta > 0$$, что для любых начальных данных $$N_{0}$$ из $$\delta$$-окрестности точки $$N^{*}$$ вся траектория системы $$N_{t}$$, $$t = 0, 1, 2, ...$$ содержится в $$\varepsilon$$-окрестности точки $$N^{*}$$.

Если, кроме того, $$\displaystyle{\lim_{t\to\infty}} N_{t} = N^{*}$$, то точка $$N^{*}$$ называется асимптотически устойчивой.

Асимптотически устойчивые неподвижные точки иногда называют аттракторами, а неустойчивые неподвижные точки иногда называют репеллерами.

Теорема 1. Пусть $$N^{*}$$ — неподвижная точка отображения (\ref{sist1}), т.е. $$N^{*}$$ =f($$N^{*}$$), и пусть f обратима в малой окрестности $$N^{*}$$. Тогда $$N^{*}$$ асимптотически устойчива, если $$ \abs{f^{'}(N^{*})} < 1$$, и неустойчива, если $$ \abs{f^{'}(N^{*})} > 1$$.