Теорема А.А. Фельдбаума о числе переключений

Постановка задачи

Закон движения объекта записывается в виде линейной системы дифференциальных уравнений: \[ \frac{dx_i}{dt} = \sum\limits_{k = 1}^{n}a_{ik}x_k + \sum\limits_{l = 1}^m b_{il}u_l, \] или в векторной форме: \begin{equation} \frac{dx}{dt} = Ax + Bu, \end{equation} где $$A$$ — матрица коэффициентов, имеющая все действительные собственные значения.
Будем рассматривать задачу быстродействия, то есть задачу о минимизации времени перехода: \[t_1 - t_0 = \int\limits_{t_0}^{t_1}dt.\]
Множество допустимых управлений $$U$$ представляет собой параллелепипед, определенный неравенствами: \begin{equation} \alpha_i \leq u_i \leq \beta_i, i = 1, ..., m. \end{equation} Гамильтониан $$\mathscr{H}(\psi, x, u)$$ системы $$(1)$$ имеет вид: \[ \mathscr{H} = (\psi, Ax) + (\psi, Bu) = \sum\limits_{j = 1}^n \psi_j \sum\limits_{i = 1}^n a_{ji}x_i + \sum\limits_{j = 1}^n \psi_j \sum\limits_{i = 1}^m b_{ji}u_i. \]
Вспомогательная система уравнений записывается следующим образом: \[ \frac{d\psi_j}{dt} = - \sum\limits_{i = 1}^na_{ji}\psi_j, j = 1, ..., n, \] или в векторной форме: \begin{equation} \frac{d\psi}{dt} = -A^{T}\psi. \end{equation} На основании принципа максимума можно заключить, что если $$u(t)$$ — оптимальное управление, переводящее точку $$x_0(t)$$ в точку $$x_k(t)$$, то существует такое решение $$\psi(t)$$ вспомогательной системы $$(3)$$, что: \begin{equation} (\psi(t), Bu(t)) = M(\psi(t)), \end{equation} где $$M(\psi, x) = \sup\limits_{u \in U} \mathscr{H}(\psi, x, u).$$

Формулировка теоремы А.А.Фельдбаума

Пусть множество допустимых управлений $$U$$ представляет собой параллелепипед, определенный неравенствами $$(2)$$, и все собственные значения матрицы $$A$$ действительны. Тогда для каждого ненулевого решения $$\psi(t)$$ уравнений $$(3)$$ соотношение $$(4)$$ однозначно определяет управление $$u(t) = (u_1(t), ..., u_m(t)).$$ При этом оказывается, что каждая из функций $$u_k (k = 1, ..., m)$$ кусочно-постоянна , принимает только значения $$\alpha_k$$ и $$\beta_k$$ и имеет не более $$(n - 1)$$ переключений (не более $$n$$ интервалов постоянства), где n - порядок системы уравнений $$(1)$$.

Доказательство теоремы А.А.Фельдбаума

Запишем функцию $$(\psi(t), Bu)$$ в виде: \[ (\psi(t), Bu) = \sum\limits_{j = 1}^n \sum\limits_{i = 1}^m \psi_jb_{ji}u_i = \sum\limits_{i = 1}^m (\sum\limits_{j = 1}^n \psi_jb_{ji}u_i) \]
Эта функция достигает максимума при условии, что каждое из слагаемых: \[ \sum\limits_{j = 1}^m \psi_jb_{ji}u_i ,\, i = 1, ..., m \] принимает максимальное значение. Следовательно, \[ u_i = \begin{cases} \alpha_i, & \text{если} \sum\limits_{j = 1}^m \psi_jb_{ji} < 0,\\ \beta_i, & \text{если} \sum\limits_{j = 1}^m \psi_jb_{ji} > 0 \end{cases} \] Таким образом, точками переключения для управления $$u_t$$ будут те значения $$t$$, при которых $$\sum\limits_{j = 1}^m \psi_jb_{ji} = 0.$$
Если известно решение линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами, то каждая из функций $$\psi_1(t), ..., \psi_n(t)$$ записывается в виде: \[ f_1(t)e^{\lambda_1t} + f_2(t)e^{\lambda_2t} + ... + f_n(t)e^{\lambda_nt}, \] где $$\lambda_1, ..., \lambda_n$$ — попарно различные собственные значения матрицы $$A^T$$;\, $$f_1(t), ..., f_n(t)$$ — многочлены, степень которых на единицу меньше кратности соответствующих собственных чисел.
Все числа $$\lambda_1, ..., \lambda_r$$ действительны, так как по условию все собственные значения матрицы $$A$$, а, следовательно, и матрицы $$A^T$$ действительны. Обозначим через $$\nu_i$$ кратность собственного значения $$\lambda_i$$, тогда степень многочлена $$f_i(t)$$ не превышает числа $$\nu_i - 1$$. Поэтому по лемме, доказанной ниже, число действительных корней функции $$\sum\limits_{j = 1}^m \psi_jb_{ji}$$ не превышает: \[ (\nu_1 - 1) + (\nu_2 - 1) + ... + (\nu_r - 1) + r - 1 = \nu_1 + ... + \nu_r - 1 = n - 1 \] Таким образом, теорема доказана.

Лемма

Пусть $$\lambda_1, ..., \lambda_r$$ — действительные попарно различные числа; $$f_1(t), ..., f_n(t)$$ — многочлены с действительными коэффициентами, имеющими степени соответственно $$\nu_1, \nu_2, ..., \nu_r.$$ Тогда функция \begin{equation} f_1(t)e^{\lambda_1t} + f_2(t)e^{\lambda_2t} + ... + f_n(t)e^{\lambda_nt} \end{equation} имеет не более $$ \nu_1 + ... + \nu_r + r - 1 $$ действительных корней.

Доказательство леммы

При $$r = 1$$ лемма справедлива, так как функция $$f_1(t)e^{\lambda_1t}$$ имеет не более $$\nu_1$$ действительных корней. Пусть лемма справедлива для $$(m - 1)$$ слагаемых, докажем ее для $$m$$ слагаемых.
Предположим, что лемма неверна, тогда функция имеет, по крайней мере, $$\nu_1 + ... + \nu_r + m$$ действительных корней. Умножим функцию (6) на $$e^{-\lambda_rt}$$, что не меняет числа ее корней; тогда: \[ f_1(t)e^{(\lambda_1 - \lambda_r)t} + ... + f_{r - 1}(t)e^{(\lambda_{r - 1} - \lambda_r)t} + f_r(t). \] Эта функция также имеет не менее $$\nu_1 + ... + \nu_r + m$$ действительных корней. $$(\nu_{r + 1})$$-ая производная этой функции имеет не менее $$(\nu_1 + ... + \nu_r + m) - (\nu_r + 1) = \nu_1 + ... + \nu_{r - 1} + (m - 1)$$ действительных корней. Легко получить $$(\nu_{r + 1})$$-ую производную в виде: \[ g_1(t)e^{(\lambda_1 - \lambda_r)t} + ... + g_{r - 1}(t)e^{(\lambda_{r - 1} - \lambda_r)t}, \] где числа $$\lambda_1 - \lambda_r, ..., \lambda_{r - 1} - \lambda_r$$ попарно различны, а степени многочленов $$g_i(t)$$ соответственно равны $$\nu_i$$. По индукции функция (7) имеет не более $$\nu_1 + ... + \nu_{r - 1} + (r - 1) - 1$$ действительных корней, что противоречит (8). Следовательно, лемма справедлива.