Неподвижные точки системы

Пусть задана динамическая система:

\begin{equation} \label{sist1} u \mapsto f(u) = f(u;r), ~u \in \mathcal{U} \subset X, ~r \in \mathcal{R}, ~f:\mathcal{U} \rightarrow \mathcal{U}, \end{equation} где множество $$X \subset \mathcal{R}^n$$.

Определение 1.

Неподвижными точками динамической системы (\ref{sist1}) называются такие точки пространства состояний $$u^{∗}$$, что $$f(u^{∗}) = u^{∗}$$.

Определение 2.

Пространством состояний (или фазовым пространством) называется множество всевозможных состояний $$u_t$$.

Кроме термина "неподвижная точка" используют иногда термины "стационарная точка" или "положение равновесия".

Устойчивость неподвижных точек

$$r=30, b=3$$, система имеет два различных неотрицательных корня.

$$r=0.9, b=7$$, система имеет единственный корень $$v=0$$.

Известно, что никакая реальная система не может находиться все время в одном и том же состоянии, так как помимо всего прочего подвержена внешним воздействиям. Что произойдет, если немного возмутить состояние системы так, что ее состояние окажется в некоторой окрестности положения равновесия? Траектории могут покинуть эту окрестность, остаться в этой окрестности, или приблизиться к положению равновесия. Естественно назвать положение равновесия неустойчивым в первом случае и устойчивым в двух других. Чтобы формализовать обсуждаемое понятие устойчивости, введем следующее определение.

Определение 3.

Неподвижная точка $$u^{*}$$ отображения (\ref{sist1}) называется устойчивой по Ляпунову, если для любого $$\varepsilon > 0$$ существует такое $$\delta > 0$$, что для любых начальных данных $$u_{0}$$ из $$\delta$$-окрестности точки $$u^{*}$$ вся траектория системы $$u_{t}$$, $$t = 0, 1, 2, ...$$ содержится в $$\varepsilon$$-окрестности точки $$u^{*}$$.

Если, кроме того, $$\displaystyle{\lim_{t\to\infty}} u_{t} = u^{*}$$, то точка $$u^{*}$$ называется асимптотически устойчивой.

То есть $$u^{*}=f(u^{*})$$ устойчивая по Ляпунову, если $$\forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta(\varepsilon) ~ \forall u_0 \in \mathcal{U}_{\delta}(u^{*})$$ верно $$|u^{*}-u_{t}|< \varepsilon, ~\forall t \geqslant 0$$.

Если, кроме того, $$|u(t; u_0) − u^{*}| \rightarrow 0$$, при $$t \rightarrow \infty$$, то положение равновесия $$u^{*}$$ называется асимптотически устойчивым.

Если положение равновесия не является устойчивым, то говорят, что оно неустойчиво. Асимптотически устойчивые неподвижные точки иногда называют аттракторами, а неустойчивые неподвижные точки иногда называют репеллерами.

Теорема 1.

Пусть $$u^{*}$$ — неподвижная точка отображения (\ref{sist1}), т.е. $$u^{*}$$ = $$f(u^{*})$$, и пусть $$f$$ обратима в малой окрестности $$u^{*}$$. Тогда $$u^{*}$$ асимптотически устойчива, если $$|f^{'}(u^{*})| < 1$$, и неустойчива, если $$|f^{'}(u^{*})| > 1$$. Если $$ |f^{'}(u^{*})| = 1$$, то требуются дополнительные исследования.

Доказательство.

Пусть $$|f^{'}(u^{*})| < 1$$ и пусть $$u$$ принадлежит малой окрестности $$u^{*}$$. Так как \[ \displaystyle{\lim_{t\to\infty}} \frac{|f(u)-f(u^{*})|}{|u-u^{*}|}=|f^{'}(u^{*})|, \] поэтому существует такая окрестность $$u^{*}$$, что \[ \frac{|f(u)-f(u^{*})|}{|u-u^{*}|} \leqslant a, \] для всех $$u$$ из этой окрестности; здесь $$a$$ — некоторое число, такое что $$|f^{'}(u^{*})| \leqslant a < 1$$. Таким образом, $$f(u)$$ остается в той же окрестности, что и $$u$$, и, кроме того, ближе к неподвижной точке $$u^{*}$$, по крайней мере, на множитель $$a$$. Отсюда следует, что \[|f(f(u)) − f(f(u^{*}))| \leqslant a |f(u) − f(u^{*})| \leqslant a^2|u − u^{*}|, \] или, по индукции, \[|f^{k}(u) − u^{*}| \leqslant a^{k}|u − u^{*}|, \] где $$f^{k}$$ обозначает $$k$$-ую суперпозицию отображения $$f$$. Таким образом мы доказали, что последовательность $$f^{k}(u)$$ будет сходиться к $$u^{*}$$, то есть является асимптотически устойчивой.

Вторая часть утверждения доказывается сходным образом. $$\blacksquare$$

Пример поиска неподвижных точек с помощью графического метода

Аттрактор в точке $$v_2^*$$ при параметрах $$r=10, b=2, v_0=1.$$

Аттрактор в точке $$v_2^*$$ при параметрах $$r=3, b=0.9, v_0=4.5$$.

Пусть задана система $$v_{t+1} = \frac{r v_t}{(1+ v_t)^b}$$.

Графически неподвижные точки — это точки пересечения графика функции $$f(N)$$ и биссектрисы первого координатного угла $$N_{t+1} = N_{t}$$ (нас интересуют только неотрицательные решения). Для нахождения неподвижных точек заданной системы рассмотрим возможные пересечения графика функции $$f(v)=\frac{rv}{(1+v)^b}$$ с прямой $$g(v)=v$$.

Заметим, что система \begin{equation} \label{sist2} \begin{cases} f(v)=\frac{rv}{(1+v)^b},\\g(v)=v. \end{cases} \end{equation} при любых $$v \geqslant 0, ~r,b > 0$$ имеет хотя бы один корень, а именно $$v=0$$. Второй корень $$v=r^{1/b}-1$$ система может иметь только при значении параметра $$r> 1$$. Больше двух неотрицательных корней система (\ref{sist2}) не имеет.

Аттрактор в точке $$v_1^*$$ при параметрах $$r=0.9, b=0.7, v_0=4.$$

Репеллер в точке $$v_1^*$$ при параметрах $$r=2, b=0.9, v_0=2.$$

Пример исследования неподвижных точек на устойчивость

Исследуем на устойчивость неподвижные точки $$v^{*}_1=0$$ и $$v^{*}_2=r^{1/b}-1$$ для системы (\ref{sist2}).

\begin{equation} f_v(v^{*})=\frac{r((1+v)^b-bv(1+v)^{b-1})}{(1+v)^{2b}}. \end{equation}

Исследуем сначала точку $$v^{*}_2=r^{1/b}-1$$:

Подставим $$v_2^{*}$$ в выражение (\ref{sist2}) и с учетом наложенных ограничений $$r>1, b>0$$ для существования точки получим

\[ f_v(v_2^{*})=b(r^{-1/b}-1)+1. \]

Согласно теореме 1 точка $$v^{*}_2=r^{1/b}-1$$ будет асимптотически устойчивой, при $$r^{-1/b}<1$$ и неустойчивой при $$r^{-1/b}>1$$. Отметим, что точка $$v^{*}_2=r^{1/b}-1$$ (отличная от нуля) существует только при значении параметра $$r > 1$$, таким образом $$r^{-1/b}$$ принимает значения меньше единицы при любых $$r> 1$$, значит, точка $$v^{*}_2$$ асимптотически устойчива всегда, если она существует.

Теперь исследуем на устойчивость точку $$v^{*}_1=0$$:

Подставим $$v_1^{*}$$ в выражение (\ref{sist2}) и получим \[ f_v(v_1^{*})=r. \] Таким образом, по теореме 1, точка $$v^{*}_1=0$$ будет асимптотически устойчивой, при $$r<1$$ и неустойчивой при $$r>1$$.

Связанные теоремы

Теорема 2. (Банах)

Пусть $$(X, d)$$ — полное метрическое пространство с метрикой $$d$$.

Пусть задано отображение $$f : X \rightarrow X$$ и существует число $$a, 0 \leqslant a < 1$$, такое, что для любых $$x, y \in X: d(f(x), f(y)) \leqslant a \cdot d(x, y)$$.

Тогда существует единственная точка $$\xi \in X$$ такая, что $$f(\xi) = \xi$$, и начиная с любой точки $$x_0 \in X$$, последовательность итераций $${f_n(x_0)}_{n=1,2,...}$$ сходится к точке $$\xi$$.

Теорема 3. (Брауэр)

Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.

Более подробно, рассмотрим замкнутый шар в n-мерном пространстве \(B^n\subset \mathbb R^n\). Пусть \(f \colon B^n\to B^n\) — некоторое непрерывное отображение этого шара в себя (не обязательно строго внутрь себя, не обязательно биективное, т.е. даже не обязательно сюръективное). Тогда найдется такая точка \(x\in B^n\), что \(f(x)=x\).

Теорема 4. (Шаудер — Тихонов)

В локально выпуклом топологическом векторном пространстве любое непрерывное отображение $$f : K\to K$$ выпуклого компактного множества $$K$$ в себя имеет неподвижную точку.

Список литературы

1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии, 2011.

2. Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

3. Banach S. Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur applications aux équations integrales, Fund. Math, 1922

4. Шашкин Ю.А. Неподвижные точки, М.: Наука, 1989

5. J. Schauder, Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen, Studia Math. 2, 1930