Решения ОДУ в смысле Каратеодори: различия между версиями
Maksim (обсуждение | вклад) |
Maksim (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 5: | Строка 5: | ||
Рассмотрим систему ДУ: \\ | Рассмотрим систему ДУ: \\ | ||
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math> | <math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math> | ||
| + | <math>(t_0,x_0) \in \mathbb{R}.</math> | ||
| + | |||
Мы хотим понять в каком смысле понимать траекторию этой системы $x(\cdot),$ если управление $u(\cdot)$ измеримая функция. | Мы хотим понять в каком смысле понимать траекторию этой системы $x(\cdot),$ если управление $u(\cdot)$ измеримая функция. | ||
Введем обозначение | Введем обозначение | ||
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$ | $$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$ | ||
== Условия Каратеодори == | == Условия Каратеодори == | ||
| − | Пусть <math> | + | Пусть <math> \dot \mathbb{R}^n</math> и$ \exists a > 0, r > 0$ такие, что: |
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
\item Пусть g(t,x) определена для $\forall x \in B_r(x_0)$ и почти всех $\forall t \in [t_0-a,t_0+a];$ | \item Пусть g(t,x) определена для $\forall x \in B_r(x_0)$ и почти всех $\forall t \in [t_0-a,t_0+a];$ | ||
Версия 20:07, 28 ноября 2021
В дрызг и брызг рванула осень запоздалою жарой
Рассмотрим систему ДУ: \\ \(\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).\) \((t_0,x_0) \in \mathbb{R}.\)
Мы хотим понять в каком смысле понимать траекторию этой системы $x(\cdot),$ если управление $u(\cdot)$ измеримая функция. Введем обозначение $$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Условия Каратеодори
Пусть \( \dot \mathbb{R}^n\) и$ \exists a > 0, r > 0$ такие, что: \begin{enumerate} \item Пусть g(t,x) определена для $\forall x \in B_r(x_0)$ и почти всех $\forall t \in [t_0-a,t_0+a];$ \item g(t,x) измерима по $t$ для всех $\forall x \in B_r(x_0)$, g(t,x) непрерывна по $x$ для почти всех $\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];$ \item $\exists m(\cdot)$ - интегрируема по Лебегу при $t \in t[t_0-a, t_0+a]$ такая, что '"`UNIQ-MathJax2-QINU`"' \end{enumerate} Эти три условия и называются условиями Каратеодори.
