Лемма о перестановке интеграла и супремума: различия между версиями
Polina (обсуждение | вклад) |
Polina (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | + | Условия перестановки интеграла и супремума складываются в лемму, которая возникает в задаче быстродействия (т.е. поиска управления, оптимального по времени) и применяется для облегчения расчета [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F опорной функции] множества достижимости. | |
== Задача быстродействия == | == Задача быстродействия == | ||
| Строка 8: | Строка 8: | ||
Пусть наша система описывается следующими условиями: | Пусть наша система описывается следующими условиями: | ||
| − | \[ | + | \[ |
\left\{\begin{aligned} | \left\{\begin{aligned} | ||
& \dot{x} = A(t)x(t) + B(t)u(t)+f(t), \\ | & \dot{x} = A(t)x(t) + B(t)u(t)+f(t), \\ | ||
| Строка 16: | Строка 16: | ||
& t_1 - t_0 \longrightarrow \text{inf}, | & t_1 - t_0 \longrightarrow \text{inf}, | ||
\end{aligned}\right. | \end{aligned}\right. | ||
| + | \label{main_sys} | ||
\] | \] | ||
где $$ x^0,\,x^1,\,t_0 $$ - фиксированы, $$ A(t),\,B(t),\,f(t) $$ - непрерывны, а $$ \mathcal{P} $$ непрерывно, как многозначное отображение (это требование гарантирует нам непрерывность [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F опорной функции] $$ | где $$ x^0,\,x^1,\,t_0 $$ - фиксированы, $$ A(t),\,B(t),\,f(t) $$ - непрерывны, а $$ \mathcal{P} $$ непрерывно, как многозначное отображение (это требование гарантирует нам непрерывность [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F опорной функции] $$ | ||
\mathcal{\rho(l|\mathcal{P}(\tau))} $$ по $$ \tau $$ для любого $$ l $$). | \mathcal{\rho(l|\mathcal{P}(\tau))} $$ по $$ \tau $$ для любого $$ l $$). | ||
| − | |||
| − | |||
| + | == Множество достижимости == | ||
| + | Введем множество достижимости $$ \mathcal{X}[t_1] $$: | ||
| + | \[ | ||
| + | \mathcal{X}[t_1] = \mathcal{X}(t_1,t_0,x^0) = \{x = x(t_1,t_0,x^0\,|\,u(\cdot)), u(\tau) \in \mathcal{P}\}. | ||
| + | \] | ||
| + | Обозначение $$ \mathcal{X}[t_1] $$ означает, что в данный момент нам интересна зависимость $$ \mathcal{X} $$ только от переменной $$ t_1 $$, хотя в общем случае значение $$ \mathcal{X} $$ зависит от большего числа переменных. | ||
| + | Введем также трубку достижимости (функцию, отображающую время на соответствующее множество достижимости) как $$ \mathcal{X}[\cdot] $$. Ее графиком будем называть множество: | ||
| + | \[ | ||
| + | \mathcal{X}[\cdot] = \{(t,\,x): x\in \mathcal{X}[t]\}. | ||
| + | \] | ||
| + | Тогда [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F опорная функция] множества достижимости будет рассчитываться по следующей формуле: | ||
| + | \[ | ||
| + | \rho(l\,|\,\mathcal{X}[t_1]) = \sup\limits_{u(\cdot)} \left[ \langle l,\,X(t_1,t_0) \rangle + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l,\,u(\tau) \rangle d\tau + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle l,\,X(t_1,\tau)f(\tau) \rangle d\tau \right] = | ||
| + | \] | ||
| + | \[ | ||
| + | = \langle l,\,X(t_1,t_0) \rangle + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle l,\,X(t_1,\tau)f(\tau) \rangle d\tau + \sup\limits_{u(\cdot)} \left[ \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l,\,u(\tau) \rangle d\tau \right]. | ||
| + | \] | ||
| + | Теперь, у нас все готово для рассмотрения основной леммы. | ||
| + | == Формулировка леммы о перестановке интеграла и супремума == | ||
Версия 22:04, 28 ноября 2021
Условия перестановки интеграла и супремума складываются в лемму, которая возникает в задаче быстродействия (т.е. поиска управления, оптимального по времени) и применяется для облегчения расчета опорной функции множества достижимости.
Задача быстродействия
Тип задач оптимального управления, заключающегося в переводе системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, за минимальное время.
Пусть наша система описывается следующими условиями:
\[ \left\{\begin{aligned} & \dot{x} = A(t)x(t) + B(t)u(t)+f(t), \\ & x(t_0) = x^0, \\ & x(t_1) = x^1, \\ & u(\tau) \in \mathcal{P} \in \textit{conv}R^m, \\ & t_1 - t_0 \longrightarrow \text{inf}, \end{aligned}\right. \label{main_sys} \]
где $$ x^0,\,x^1,\,t_0 $$ - фиксированы, $$ A(t),\,B(t),\,f(t) $$ - непрерывны, а $$ \mathcal{P} $$ непрерывно, как многозначное отображение (это требование гарантирует нам непрерывность опорной функции $$ \mathcal{\rho(l|\mathcal{P}(\tau))} $$ по $$ \tau $$ для любого $$ l $$).
Множество достижимости
Введем множество достижимости $$ \mathcal{X}[t_1] $$:
\[ \mathcal{X}[t_1] = \mathcal{X}(t_1,t_0,x^0) = \{x = x(t_1,t_0,x^0\,|\,u(\cdot)), u(\tau) \in \mathcal{P}\}. \]
Обозначение $$ \mathcal{X}[t_1] $$ означает, что в данный момент нам интересна зависимость $$ \mathcal{X} $$ только от переменной $$ t_1 $$, хотя в общем случае значение $$ \mathcal{X} $$ зависит от большего числа переменных.
Введем также трубку достижимости (функцию, отображающую время на соответствующее множество достижимости) как $$ \mathcal{X}[\cdot] $$. Ее графиком будем называть множество:
\[ \mathcal{X}[\cdot] = \{(t,\,x): x\in \mathcal{X}[t]\}. \]
Тогда опорная функция множества достижимости будет рассчитываться по следующей формуле:
\[ \rho(l\,|\,\mathcal{X}[t_1]) = \sup\limits_{u(\cdot)} \left[ \langle l,\,X(t_1,t_0) \rangle + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l,\,u(\tau) \rangle d\tau + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle l,\,X(t_1,\tau)f(\tau) \rangle d\tau \right] = \] \[ = \langle l,\,X(t_1,t_0) \rangle + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle l,\,X(t_1,\tau)f(\tau) \rangle d\tau + \sup\limits_{u(\cdot)} \left[ \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l,\,u(\tau) \rangle d\tau \right]. \]
Теперь, у нас все готово для рассмотрения основной леммы.
Формулировка леммы о перестановке интеграла и супремума
Переменная $$x$$
Жирный шрифт
- таки перечисление 1,
- таки перечисление 2.
