Классификация особых точек в двумерном пространстве: различия между версиями

Материал из sawiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 11: Строка 11:
 
\dfrac{dy_1}{dy_2} = \dfrac{a_{11}y_1+a_{12}y_2}{a_{21}y_1+a_{22}y_2} .
 
\dfrac{dy_1}{dy_2} = \dfrac{a_{11}y_1+a_{12}y_2}{a_{21}y_1+a_{22}y_2} .
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Точка покоя $$(0,0)$$ является особой для для уравнения (\ref{sist2}), поскольку в ней нарушены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
+
Точка покоя $$(0,0)$$ является особой для для уравнения (\ref{sist2}), поскольку в ней нарушены условия [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8#%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%9E%D0%94%D0%A3 теоремы существования и единственности решения задачи Коши]. Поэтому через точку $$(0,0)$$ может проходить как несколько фазовых кривых, так и ни одной. Таким образом, точка покоя $$(0,0)$$ исходной системы (\ref{sist1}) является особой точкой уравнения (\ref{sist2}) в фазовых переменных.

Версия 11:11, 28 декабря 2023

Рассмотрим линейную систему с постоянными вещественными коэффициентами относительно вектор-функции $$\overline{y}(t) = (y_1(t), y_2(t))^T$$ \begin{equation} \label{sist1} \dfrac{d\overline{y}}{dt} = A\overline{y}, \ \ A = \left(\ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\\ \end{array}\right) . \end{equation} Нас будут интересовать фазовые $$($$то есть в плоскости $$(y_1,y_2))$$ траектории системы (\ref{sist1}). Заметим, что фазовые траектории этой системы являются интегральными кривыми обыкновенного дифференциального уравнения , полученного после исключения переменной $$t$$ из (\ref{sist1}) \begin{equation} \label{sist2} \dfrac{dy_1}{dy_2} = \dfrac{a_{11}y_1+a_{12}y_2}{a_{21}y_1+a_{22}y_2} . \end{equation} Точка покоя $$(0,0)$$ является особой для для уравнения (\ref{sist2}), поскольку в ней нарушены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Поэтому через точку $$(0,0)$$ может проходить как несколько фазовых кривых, так и ни одной. Таким образом, точка покоя $$(0,0)$$ исходной системы (\ref{sist1}) является особой точкой уравнения (\ref{sist2}) в фазовых переменных.