Классификация особых точек в двумерном пространстве

Постановка задачи

Рассмотрим линейную систему с постоянными вещественными коэффициентами относительно вектор-функции $$\overline{y}(t) = (y_1(t), y_2(t))^T$$ \begin{equation} \label{sist1} \dfrac{d\overline{y}}{dt} = A\overline{y}, \ \ A = \left(\ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\\ \end{array}\right) . \end{equation} Нас будут интересовать фазовые $$($$то есть в плоскости $$(y_1,y_2))$$ траектории системы (\ref{sist1}). Заметим, что фазовые траектории этой системы являются интегральными кривыми обыкновенного дифференциального уравнения , полученного после исключения переменной $$t$$ из (\ref{sist1}) \begin{equation} \label{sist2} \dfrac{dy_1}{dy_2} = \dfrac{a_{11}y_1+a_{12}y_2}{a_{21}y_1+a_{22}y_2} . \end{equation} Точка покоя $$(0,0)$$ является особой для для уравнения (\ref{sist2}), поскольку в ней нарушены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Поэтому через точку $$(0,0)$$ может проходить как несколько фазовых кривых, так и ни одной. Таким образом, точка покоя $$(0,0)$$ исходной системы (\ref{sist1}) является особой точкой уравнения (\ref{sist2}) в фазовых переменных.

Классификацию точек покоя будем проводить в зависимости от собственных значений и собственных векторов матрицы $$A$$. В рассматриваемом случае $$n=2$$ имеется два собственных значения $$\lambda_1, \lambda_2$$. Если $$\lambda_1 \neq \lambda_2,$$ то соответствующие собственные векторы \begin{equation} \overline{h_1} = \left(\ \begin{array}{ccc} h_{11} \\ h_{21}\\ \end{array}\right), \end{equation} \begin{equation} \overline{h_2} = \left(\ \begin{array}{ccc} h_{12} \\ h_{22}\\ \end{array}\right). \end{equation} линейно независимы и составляют базис в $$\mathbb{C}^{2}$$. Если $$\lambda_1 = \lambda_2,$$ то возможно существование как двух, так и одного линейно независимого собственного вектора. В последнем случае существует один присоединенный вектор, линейно независимый с собственным. Рассмотрим типы точек покоя в случае невырожденной матрицы $$A$$ $$(det A \neq 0)$$.