Классификация особых точек в двумерном пространстве

Постановка задачи

Рассмотрим линейную систему с постоянными вещественными коэффициентами относительно вектор-функции $$\overline{y}(t) = (y_1(t), y_2(t))^T$$ \begin{equation} \label{sist1} \dfrac{d\overline{y}}{dt} = A\overline{y}, \ \ A = \left(\ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\\ \end{array}\right) . \end{equation} Нас будут интересовать фазовые $$($$то есть в плоскости $$(y_1,y_2))$$ траектории системы (\ref{sist1}). Заметим, что фазовые траектории этой системы являются интегральными кривыми обыкновенного дифференциального уравнения , полученного после исключения переменной $$t$$ из (\ref{sist1}) \begin{equation} \label{sist2} \dfrac{dy_1}{dy_2} = \dfrac{a_{11}y_1+a_{12}y_2}{a_{21}y_1+a_{22}y_2} . \end{equation} Точка покоя $$(0,0)$$ является особой для для уравнения (\ref{sist2}), поскольку в ней нарушены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Поэтому через точку $$(0,0)$$ может проходить как несколько фазовых кривых, так и ни одной. Таким образом, точка покоя $$(0,0)$$ исходной системы (\ref{sist1}) является особой точкой уравнения (\ref{sist2}) в фазовых переменных.

Классификацию точек покоя будем проводить в зависимости от собственных значений и собственных векторов матрицы $$A$$. В рассматриваемом случае $$n=2$$ имеется два собственных значения $$\lambda_1, \lambda_2$$. Если $$\lambda_1 \neq \lambda_2,$$ то соответствующие собственные векторы \[ \overline{h_1} = \left(\ \begin{array}{ccc} h_{11} \\ h_{21}\\ \end{array}\right), \] \[ \overline{h_2} = \left(\ \begin{array}{ccc} h_{12} \\ h_{22}\\ \end{array}\right). \] линейно независимы и составляют базис в $$\mathbb{C}^{2}$$. Если $$\lambda_1 = \lambda_2,$$ то возможно существование как двух, так и одного линейно независимого собственного вектора. В последнем случае существует один присоединенный вектор, линейно независимый с собственным. Рассмотрим типы точек покоя в случае невырожденной матрицы $$A$$ $$(det A \neq 0)$$.

Узел $$(\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}, \lambda_1 \neq \lambda_2, \lambda_1 \cdot \lambda_2 > 0)$$

Общее решение системы (\ref{sist1}) имеет вид \begin{equation} \label{sist3} y(t) = \begin{pmatrix} y_1(t) \\ y_2(t) \end{pmatrix} = С_1 \begin{pmatrix} h_{11} \\ h_{21} \end{pmatrix} e^{\lambda_1t} + С_2 \begin{pmatrix} h_{12} \\ h_{22} \end{pmatrix} e^{\lambda_2t}, \ \ \forall C_1, C_2 \in \mathbb{R}. \end{equation}

Рассмотрим сначала случай, когда собственные значения отрицательны: $$\lambda_2 < \lambda_1 < 0.$$ Тогда нулевая точка покоя асимптотически устойчива по Ляпунову и называется устойчивым узлом. Фазовые кривые при $$t \rightarrow +\infty$$ стремятся к устойчивому узлу: $$\overline{y}(t) \rightarrow \overline{\Theta}$$. Выясним, по какому направлению фазовые траектории входят в узел. Для этого вычислим производную \begin{equation} \label{sist4} \dfrac{dy_1}{dy_2} = \dfrac{C_1h_{11}\lambda_1e^{\lambda_1t} + C_2h_{12}\lambda_2e^{\lambda_2t}}{C_1h_{21}\lambda_1e^{\lambda_1t} + C_2h_{22}\lambda_2e^{\lambda_2t}} = \dfrac{C_1h_{11}\lambda_1 + C_2h_{12}\lambda_2e^{(\lambda_2 - \lambda_1)t}}{C_1h_{21}\lambda_1 + C_2h_{22}\lambda_2e^{(\lambda_2 - \lambda_1)t}}. \end{equation} Так как $$\lambda_2 - \lambda_1 < 0,$$ то при $$C_1 \neq 0$$ имеем $$\dfrac{dy_1}{dy_2} \rightarrow \dfrac{h_{11}}{h_{21}}$$ при $$t \rightarrow +\infty$$, то есть касательный вектор фазовой траектории в пределе коллинеарен собственному вектору $$\overline{h_1}$$. Если же $$C_1 = 0$$, то \[ \overline{y}(t) = C_2 \begin{pmatrix} h_{12} \\ h_{22} \end{pmatrix} e^{\lambda_2t}. \] Значит, фазовая траектория лежит на прямой, задаваемой собственным вектором $$\overline{h}_2$$, и приближается к точке покоя при $$t \rightarrow +\infty$$.

Рис.1. Фазовые траектории узла: а - устойчивый, б - неустойчивый

Выясним направление фазовых траекторий при $$t \rightarrow -\infty$$. В этом случае фазовые траектории, отличные от точки покоя, стремятся к бесконечно удаленной точке. В силу (\ref{sist3}) при $$C_2 \neq 0$$ имеем \[ \dfrac{dy_1}{dy_2} = \dfrac{C_1h_{11}\lambda_1e^{(\lambda_1-\lambda_2)t} + C_2h_{12}\lambda_2}{C_1h_{21}\lambda_1e^{(\lambda_1-\lambda_2)t} + C_2h_{22}\lambda_2} \rightarrow \dfrac{h_{12}}{h_{22}}, \ \ t \rightarrow -\infty, \ \ (\lambda_1 - \lambda_2 > 0), \] то есть траектории в окрестности бесконечно удаленной точки выстраиваются параллельно вектору $$\overline{h_2}$$. Если же $$C_2 = 0$$, то \[ \overline{y}(t) = C_1 \begin{pmatrix} h_{11} \\ h_{21} \end{pmatrix} e^{\lambda_1t}, \] и фазовая траектория лежит на прямой, задаваемой собственным вектором $$\overline{h_1}$$. Проведенные выкладки иллюстрируются на рис.1, стрелки на траекториях указывают направление движения при увеличении $$t$$.

Для положительных собственных значений $$0 < \lambda_1 < \lambda_2$$ точка покоя называется неустойчивым узлом, расположение и вид траекторий остаются теми же, что и для отрицательных собственных значений, но направление движения по траекториям меняется на противоположное.

Полезно помнить правило узла: фазовые траектории входят в узел, касаясь собственного вектора с наименьшим по модулю собственным значением.

Дикритический узел $$(\lambda_1 = \lambda_2 \neq 0, dim ker(A - \lambda_1E) = 2)$$

Рис.2 Фазовые траектории дикритического узла: a - устойчивый, б - неустойчивый

В случае дикритического узла двукратному собственному значению $$\lambda = \lambda_1 = \lambda_2$$ отвечают два линейно независимых собственных вектора $$\overline{h_1}$$ и $$\overline{h_2}$$ матрицы $$A$$. Тогда выражение $$(\ref{sist3})$$ для общего решения принимает вид \[ \overline{y}(t) = (C_1\overline{h_1} + C_2\overline{h_2})e^{\lambda t} \] и определяет на плоскости $$(y_1, y_2)$$ совокупность всевозможных лучей, входящих в точку покоя для $$\lambda < 0$$ (устойчивый дикритический узел) и выходящих из точки покоя для $$\lambda > 0$$ (неустойчивый дикритический узел), если $$t \rightarrow +\infty$$ (см. рис.2).

Вырожденный узел $$(\lambda_1 = \lambda_2 \neq 0, dim ker(A-\lambda_1E) = 1)$$

Вырожденный узел устойчив, если $$\lambda_1 = \lambda_2 < 0$$, и неустойчив, если $$\lambda_1 = \lambda_2 > 0$$. В случае вырожденного узла двукратному собственному значению $$\lambda = \lambda_1 = \lambda_2$$ отвечает один собственный вектор $$\overline{h_1}$$ матррицы $$A$$ и один присоединенный вектор $$\overline{p_1}$$. Общее решение системы (\ref{sist1}) записывается в виде \[ \overline{y}(t) = C_1\overline{h_1}e^{\lambda t} + C_2(\overline{p_1} + t\overline{h_1})e^{\lambda t}. \]

Рис.3 Фазовые траектории вырожденного узла: а - устойчивый, б - неустойчивый

Если $$C_2 = 0$$, то фазовые траектории решения $$\overline{y}(t) = C_1\overline{h_1}e^{\lambda t}$$ состоят из двух лучей, входящих в точку покоя для $$\lambda < 0$$ (выходящих из точки покоя для $$\lambda > 0$$) при $$t \rightarrow +\infty$$ по направлению собственного вектора.

Если $$C_2 \neq 0$$, то \[ \overline{y}(t) = te^{\lambda t}(C_2\overline{h_1} + \overline{o}(1)), \ \ t \rightarrow +\infty. \] Видно, что решение касается собственного вектора в точке покоя при $$t \rightarrow +\infty$$ для $$\lambda < 0$$, либо при $$t \rightarrow -\infty$$ для $$\lambda > 0$$. На бесконечности при $$t \rightarrow +\infty$$ для $$\lambda < 0$$ либо при $$t \rightarrow -\infty$$ для $$\lambda > 0$$ фазовая траектория опять выстраивается по направлению собственного вектора, но в противоположном направлении благодаря смене знака множителя $$t$$. Типичная картина фазовых траекторий для вырожденного узла приведена на рис.3.

Седло $$(\lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{R}, \lambda_2 < 0 < \lambda_1)$$

Ясно, что седло является неустойчивой точкой покоя