Модель Рамсея и задачи оптимального управления для неё: различия между версиями
Ivan22 (обсуждение | вклад) |
Ivan22 (обсуждение | вклад) |
||
Строка 7: | Строка 7: | ||
* $$ u( \cdot ) $$ — функция полезности, | * $$ u( \cdot ) $$ — функция полезности, | ||
* $$ \rho > 0 $$ — норма субъективных межвременных предпочтений, субъективно выбранный положительный параметр дисконтирования, | * $$ \rho > 0 $$ — норма субъективных межвременных предпочтений, субъективно выбранный положительный параметр дисконтирования, | ||
− | * $$ L( \cdot )~= L(t)$$ — численность населения в момент времени $$ t $$ , | + | * $$ L( \cdot )~= L(t)$$ — численность населения в момент времени $$ t $$ , неэластичное предложение труда, |
* $$ C( \cdot )~= C(t)$$ — общие потребительские расходы в момент времени $$t$$, | * $$ C( \cdot )~= C(t)$$ — общие потребительские расходы в момент времени $$t$$, | ||
* $$ с( \cdot )~= с(t)$$ — потребительские расходы на душу населения в момент времени $$t$$, | * $$ с( \cdot )~= с(t)$$ — потребительские расходы на душу населения в момент времени $$t$$, | ||
Строка 18: | Строка 18: | ||
=== Производство в экономике с репрезентативными домохозяйствами === | === Производство в экономике с репрезентативными домохозяйствами === | ||
'' Репрезентативное домохозяйство '' — домохозяйство, предпочтения которого при рациональном поведении (в задаче потребителя), приводят к таким решениям об уровне потребления и сбережения, что они эквивалентны совокупному потреблению (спросу) и сбережениям всех домохозяйств в экономике. | '' Репрезентативное домохозяйство '' — домохозяйство, предпочтения которого при рациональном поведении (в задаче потребителя), приводят к таким решениям об уровне потребления и сбережения, что они эквивалентны совокупному потреблению (спросу) и сбережениям всех домохозяйств в экономике. | ||
− | Также предполагаем, что численность населения растёт с некоторым постоянным коэффициентом (темпом) $$ | + | Также предполагаем, что численность населения растёт с некоторым постоянным коэффициентом (темпом) $$n$$ и $$L(0)~=1$$, итого $$ L(t)~= e^{nt} $$. |
Далее формализуем объём выпуска некоторого одного продукта $$Y(t)$$. Будем предполагать, что объём выпуска зависит от капитала $$K(t)$$ и от предложения труда $$L(t) $$. Объём выпуска описывается линейно-однородной ''производственной'' функцией: | Далее формализуем объём выпуска некоторого одного продукта $$Y(t)$$. Будем предполагать, что объём выпуска зависит от капитала $$K(t)$$ и от предложения труда $$L(t) $$. Объём выпуска описывается линейно-однородной ''производственной'' функцией: | ||
Строка 28: | Строка 28: | ||
Введём $$y(t) = \frac{Y(t)}{L(t)}$$ и $$ k(t) = \frac{K(t)}{L(t)} $$ — объём выпуска и объём капитала на душу населения в момент времени $$t$$. Тогда в силу линейно-однородности производственной функции запишем предыдущее выражение в интенсивной форме: | Введём $$y(t) = \frac{Y(t)}{L(t)}$$ и $$ k(t) = \frac{K(t)}{L(t)} $$ — объём выпуска и объём капитала на душу населения в момент времени $$t$$. Тогда в силу линейно-однородности производственной функции запишем предыдущее выражение в интенсивной форме: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
− | y(t) = f\left(k(t)\right) | + | y(t) = f\left(k(t)\right) \label{eq_y} |
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Структура валовых инвестиций $$I(t)$$ включает прирост капитала со временем, | + | Структура валовых инвестиций $$I(t)$$ включает прирост капитала со временем, то есть $$ \dot{K(t)} $$ и амортизацией капитала $$\delta K$$ с нормой амортизации $$\delta $$. Тогда получим: |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
I(t)= \dot{K(t)} + \delta K(t) \label{prb:1:1} | I(t)= \dot{K(t)} + \delta K(t) \label{prb:1:1} | ||
Строка 40: | Строка 40: | ||
Тогда в силу \eqref{prb:1:1} и \eqref{prb:1:2} получим: | Тогда в силу \eqref{prb:1:1} и \eqref{prb:1:2} получим: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
− | \dot{K(t)}~= Y(t) - C(t) - \delta K(t) | + | \dot{K(t)}~= Y(t) - C(t) - \delta K(t) \label{prb:1:3} |
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Аналогично $$y(t)$$ и $$k(t)$$ введём потребление на душу населения $$c(t)= \frac{C(t)}{L(t)}$$ | + | Для получения уравнения \eqref{prb:1:3} в интенсивной форме выведем формулу для $$\dot{k(t)}$$: |
+ | \begin{gather*} | ||
+ | L(t)~=e^{nt} \rightarrow L'(t)~=nL(t) \\ | ||
+ | \dot{k(t)}~= \left(\frac{K(t)}{L(t)}\right)'~= \frac{\dot{K(t)}L(t) - K(t)L'(t)}{L^2(t)}= \\ | ||
+ | = \frac{\dot{K(t)}L(t) - K(t)n L(t)}{L^2(t)} ~= \frac{\dot{K(t)} - nK(t)}{L(t)} ~= \frac{\dot{K(t)}}{L(t)} - nk(t)\\ | ||
+ | \end{gather*} | ||
+ | Таким образом, получили: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \frac{\dot{K(t)}}{L(t)}~= \dot{k(t)} +nk(t) \label{prb:1:4} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Аналогично $$y(t)$$ и $$k(t)$$ введём потребление на душу населения $$c(t)= \frac{C(t)}{L(t)}$$. Поделим обе части уравнения \eqref{prb:1:3} на $$L(t)$$ и, учитывая \eqref{prb:1:4} и \eqref{eq_y}, получим: | ||
+ | \begin{gather*} | ||
+ | \frac{\dot{K(t)}}{L(t)}~= y(t) - c(t) - \delta k(t) \\ | ||
+ | \dot{k(t)} +nk(t)~= y(t) - c(t) - \delta k(t) \\ | ||
+ | \dot{k(t)} ~= y(t) - c(t) - (\delta + n)k(t) \\ | ||
+ | \dot{k(t)} ~= y(t) - c(t) - (\delta + n)k(t) \\ | ||
+ | \dot{k(t)} ~= f\left(k(t) \right) - c(t) - (\delta + n)k(t) \\ | ||
+ | \end{gather*} | ||
+ | Таким образом, получили аналог уравнения \eqref{prb:1:3} в интенсивной форме: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \dot{k(t)} ~= f\left(k(t) \right) - c(t) - (\delta + n)k(t) | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Уравнение в дальнейшем будем использовать, как ресурсное ограничение в задачи социального планировщика и в соответствующей задачи оптимального управления. | ||
=== Дискретная задача центрального планирования === | === Дискретная задача центрального планирования === | ||
Версия 00:15, 20 февраля 2024
Содержание
Определение
Модель Рамсея (модель Рамсея-Касса-Купманса)(модель репрезентативного агента) — неоклассическая модель оптимального экономического роста, являющаяся обобщением экономической модели Солоу. В модели Солоу норма сбережений предполагалась заданной экзогенно. В реальности она зависит от поведения жителей страны (макрорегиона), а, значит, от их собственных предпочтений. Поэтому в модели Рамсея норма сбережений определяется эндогенно.
Описание модели
Экономические обозначения
Для описания модели введём следующие обозначения, применяемые в теории экономической математики.
- $$ u( \cdot ) $$ — функция полезности,
- $$ \rho > 0 $$ — норма субъективных межвременных предпочтений, субъективно выбранный положительный параметр дисконтирования,
- $$ L( \cdot )~= L(t)$$ — численность населения в момент времени $$ t $$ , неэластичное предложение труда,
- $$ C( \cdot )~= C(t)$$ — общие потребительские расходы в момент времени $$t$$,
- $$ с( \cdot )~= с(t)$$ — потребительские расходы на душу населения в момент времени $$t$$,
- $$ K( \cdot )~= K(t)$$ — объём капитала в момент времени $$t$$,
- $$ Y( \cdot )~= Y(t) $$ — объём выпуска в момент времени $$t$$,
- $$ I( \cdot )~= I((t)$$ — объём валовых инвестиций в момент времени $$t$$,
- $$r( \cdot ) ~= r(t) $$ — реальная доходность сбережений,
- $$ \sigma $$ — эластичность межвременного замещения (elasticity of intertemporal substitution)
- $$ \delta$$ — норма амортизации капитала
Производство в экономике с репрезентативными домохозяйствами
Репрезентативное домохозяйство — домохозяйство, предпочтения которого при рациональном поведении (в задаче потребителя), приводят к таким решениям об уровне потребления и сбережения, что они эквивалентны совокупному потреблению (спросу) и сбережениям всех домохозяйств в экономике. Также предполагаем, что численность населения растёт с некоторым постоянным коэффициентом (темпом) $$n$$ и $$L(0)~=1$$, итого $$ L(t)~= e^{nt} $$.
Далее формализуем объём выпуска некоторого одного продукта $$Y(t)$$. Будем предполагать, что объём выпуска зависит от капитала $$K(t)$$ и от предложения труда $$L(t) $$. Объём выпуска описывается линейно-однородной производственной функцией: \begin{equation} Y(t) = F\left(K(t), L(t) \right) \end{equation} Где $$ F'_{K} > 0, F'_{L} > 0, F"_{KK} < 0, F"_{LL} < 0$$.
Введём $$y(t) = \frac{Y(t)}{L(t)}$$ и $$ k(t) = \frac{K(t)}{L(t)} $$ — объём выпуска и объём капитала на душу населения в момент времени $$t$$. Тогда в силу линейно-однородности производственной функции запишем предыдущее выражение в интенсивной форме: \begin{equation} y(t) = f\left(k(t)\right) \label{eq_y} \end{equation} Структура валовых инвестиций $$I(t)$$ включает прирост капитала со временем, то есть $$ \dot{K(t)} $$ и амортизацией капитала $$\delta K$$ с нормой амортизации $$\delta $$. Тогда получим: \begin{equation} I(t)= \dot{K(t)} + \delta K(t) \label{prb:1:1} \end{equation} Далее, в силу предположения о закрытой экономики, получим следующую зависимость потребительских расходов $$C(t)$$, объёма инвестиций $$I(t)$$ и объёма выпуска $$Y(t)$$: \begin{equation} Y(t)~= C(t) + I(t) \label{prb:1:2} \end{equation} Тогда в силу \eqref{prb:1:1} и \eqref{prb:1:2} получим: \begin{equation} \dot{K(t)}~= Y(t) - C(t) - \delta K(t) \label{prb:1:3} \end{equation} Для получения уравнения \eqref{prb:1:3} в интенсивной форме выведем формулу для $$\dot{k(t)}$$: \begin{gather*} L(t)~=e^{nt} \rightarrow L'(t)~=nL(t) \\ \dot{k(t)}~= \left(\frac{K(t)}{L(t)}\right)'~= \frac{\dot{K(t)}L(t) - K(t)L'(t)}{L^2(t)}= \\ = \frac{\dot{K(t)}L(t) - K(t)n L(t)}{L^2(t)} ~= \frac{\dot{K(t)} - nK(t)}{L(t)} ~= \frac{\dot{K(t)}}{L(t)} - nk(t)\\ \end{gather*} Таким образом, получили: \begin{equation} \frac{\dot{K(t)}}{L(t)}~= \dot{k(t)} +nk(t) \label{prb:1:4} \end{equation} Аналогично $$y(t)$$ и $$k(t)$$ введём потребление на душу населения $$c(t)= \frac{C(t)}{L(t)}$$. Поделим обе части уравнения \eqref{prb:1:3} на $$L(t)$$ и, учитывая \eqref{prb:1:4} и \eqref{eq_y}, получим: \begin{gather*} \frac{\dot{K(t)}}{L(t)}~= y(t) - c(t) - \delta k(t) \\ \dot{k(t)} +nk(t)~= y(t) - c(t) - \delta k(t) \\ \dot{k(t)} ~= y(t) - c(t) - (\delta + n)k(t) \\ \dot{k(t)} ~= y(t) - c(t) - (\delta + n)k(t) \\ \dot{k(t)} ~= f\left(k(t) \right) - c(t) - (\delta + n)k(t) \\ \end{gather*} Таким образом, получили аналог уравнения \eqref{prb:1:3} в интенсивной форме: \begin{equation} \dot{k(t)} ~= f\left(k(t) \right) - c(t) - (\delta + n)k(t) \end{equation} Уравнение в дальнейшем будем использовать, как ресурсное ограничение в задачи социального планировщика и в соответствующей задачи оптимального управления.
Дискретная задача центрального планирования
Постановка задачи
Задача центрального планирования(задача социального планировщика) в закрытой экономике:
Пусть $$ u( \cdot ) $$ — функция мгновенной полезности. Аргументом функции будет являться потребительский расход $$c(t)$$ в момент времени $$ t $$.
Ввиду того, что мы рассматриваем модель репрезентативного агента, то параметр дисконтирования $$ \rho $$ у социального планировщика такой же, как и у индивидуальных домохозяйств. Тогда в качестве целевой функции, требующей максимизации рассмотрим: \begin{equation} U~=\int_{0}^{∞}{u\left(c(t) \right) e^{-\rho t} dt} \longrightarrow \max_{c} \end{equation} Где $$u\left(c(t)\right)$$ — сепарабельная функция. Тоесть полезность в каждый момент времени зависит только от текущего потребления.
Также $$u'(c) > 0$$ и $$\lim_{t \to \infty}{u'(c)}=0 $$ $$ \lim_{t \rightarrow 0}{u'(c)}= ∞$$
Вспомогательные утверждения
Правило Кейнса-Рамсея
Случай дискретного времени: \begin{equation} \frac{C_{t+1}}{C_{t}}~=\left(\frac{1+r}{1 +\rho } \right)^{\delta} \end{equation}
Случай непрерывного времени: \begin{equation} \frac{u'(C_{t+1})}{u'(C_t)}~=\left(\frac{1+r}{1 +\rho } \right) \end{equation}
Список литературы
С. М. Асеев, А. В. Кряжимский, "Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста",
Веселов Д.А. Пекарский С.Э. "Макроэкономика финансовых рынков"
Ramsey F.P. A mathematical theory of saving.