Решения ОДУ в смысле Каратеодори: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Maksim (обсуждение | вклад) |
Maksim (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 12: | Строка 12: | ||
== Условия Каратеодори == | == Условия Каратеодори == | ||
| − | Пусть <math>(t_0, x^0)\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что: | + | Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что: |
| − | + | # Пусть g(t,x) определена для $\forall x \in B_r(x_0)$ и почти всех $\forall t \in [t_0-a,t_0+a];$ | |
| − | + | # g(t,x) измерима по $t$ для всех $\forall x \in B_r(x_0)$, | |
| − | |||
g(t,x) непрерывна по $x$ для почти всех $\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];$ | g(t,x) непрерывна по $x$ для почти всех $\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];$ | ||
| − | + | # $\exists m(\cdot)$ - интегрируема по Лебегу при $t \in t[t_0-a, t_0+a]$ такая, что | |
$$ ||g(t,x)|| \geq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];$$ | $$ ||g(t,x)|| \geq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];$$ | ||
| − | |||
Эти три условия и называются условиями Каратеодори. | Эти три условия и называются условиями Каратеодори. | ||
# Александр Бабаев | # Александр Бабаев | ||
Версия 04:00, 29 ноября 2021
В дрызг и брызг рванула осень запоздалою жарой
Рассмотрим систему ДУ\[\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).\] Мы хотим понять в каком смысле понимать траекторию этой системы \(x(\cdot)\), если управление \(u(\cdot)\) измеримая функция. Введем обозначение $$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Условия Каратеодори
Пусть \((t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \) и \(\exists a > 0, r > 0\) такие, что:
- Пусть g(t,x) определена для $\forall x \in B_r(x_0)$ и почти всех $\forall t \in [t_0-a,t_0+a];$
- g(t,x) измерима по $t$ для всех $\forall x \in B_r(x_0)$,
g(t,x) непрерывна по $x$ для почти всех $\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];$
- $\exists m(\cdot)$ - интегрируема по Лебегу при $t \in t[t_0-a, t_0+a]$ такая, что
$$ ||g(t,x)|| \geq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];$$ Эти три условия и называются условиями Каратеодори.
- Александр Бабаев
