Сильная и слабая сходимость

\noindent \textbf{О сильной сходимости}

В математическом анализе изучается сходимость последовательности чисел: говорят, что числовая последовательность $$\{x_{n}\}$$ сходится к числу $$x \in \mathbb R$$, если $$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N} : \forall \, n \geq N(\varepsilon) \Rightarrow |x_n - x| < \varepsilon.$$ Модуль разности двух чисел \( | \cdot | \) используется, чтобы описать <<расстояние>> между ними. В функциональном анализе вводится общее понятие расстояния между объектами (это расстояние называется метрикой) и рассматриваются метрические пространства \((X, d)\), где $X$ есть произвольное множество объектов, а $d: X \times X \to [0, +\infty)$ ~--- метрика. В частном случае, когда $X$ является линейным пространством и на нем введена норма $||\cdot||$, можно задать (породить) метрику на $X$ соотношением \begin{equation} \label{indmetric} d(x_{1}, x_{2}) := ||x_{1} - x_{2}|| \quad \forall x_{1}, x_{2} \in X. \end{equation}

Таким образом, понятие сходимости числовых последовательностей, определенное в математическом анализе, можно обобщить на случай последовательностей точек произвольных нормированных пространств, и такая сходимость (по метрике, порожденной нормой по формуле \eqref{indmetric}) в нормированном пространстве называется \textbf{сильной сходимостью}.

Итак, в нормированном пространстве \( (X, ||\cdot||) \) последовательность \( \{x_n\} \) \textbf{сильно сходится к элементу \( x \in X \)}, если \[ \lim_{n \to \infty} \|x_n - x\| = 0. \] Обозначение: $x_{n} \to x$. \\

\noindent \textbf{О слабой сходимости}

Для определения слабой сходимости введем сперва понятие топологии.

Пусть $X$ ~--- некоторое непустое множество, которое будем называть пространством-носителем. \textbf{Топологией в $X$} называется любая система его подмножеств $\tau \subset 2 ^ {X}$ такая, что \begin{enumerate} \item $\emptyset, X \in \tau$; \item Если $J$ ~--- некоторое (необязательно конечное) индексное множество и для любого $\alpha \in J$ верно, что $G_{\alpha} \in \tau$, то верно $\displaystyle \cup_{\alpha \in J} G_{\alpha} \in \tau$; \item Если $G_{1}, \ldots, G_{k} \in \tau$, то $\displaystyle \cap_{i = 1} ^ {k} G_{i} \in \tau$. \end{enumerate}

Таким образом, система $\tau$ содержит хотя бы два элемента (пустое множество и все пространство-носитель) и замкнута относительно произвольных объединений и конечных пересечений своих элементов. Отметим, что в отличие от $\sigma$-алгебры, топология вообще говоря не замкнута относительно операции взятия дополнения: если $G \in \tau$, то необязательно $X \setminus G \in \tau$. Поэтому $\tau$ может не быть замкнута относительно бесконечного пересечения своих элементов.

Множества $G \in \tau$ называются \textbf{открытыми множествами}.

Пара $(X, \tau)$ называется \textbf{топологическим пространством}.

Рассмотрим два <<экстремальных>> случая. Если топология $\tau = \{\emptyset, X\}$, то она содержится (в смысле множеств) в любой другой топологии в $X$ и называется \textbf{антидискретной топологией}. Если же $\tau = 2 ^ {X}$, т. е. $\tau$ состоит из всех возможных подмножеств $X$, то она содержит любую другую топологию в $X$ и называется соответственно \textbf{дискретной топологией}.

Если $\tau_{1}$ и $\tau_{2}$ это две топологии в общем пространстве-носителе $X$, причем $\tau_{1} \subset \tau_{2}$, то говорят, что топология $\tau_{1}$ \textbf{слабее} топологии $\tau_{2}$, а топология $\tau_{2}$ \textbf{сильнее}, чем топология $\tau_{1}$. Следовательно, дискретная топология является сильнейшей среди всех топологий на носителе $X$, а антидискретная ~--- слабейшей.

Пусть $(X, \tau)$ это топологическое пространство. Тогда окрестностью точки $x \in X$ (в топологии $\tau$) называется любое множество $V \subset X$ такое, что существует $U \in \tau: x \in V \subset U$.

Сходимость в топологических пространствах можно определить просто и естественно. Последовательность $\{x_{n}\}$ точек топологического пространства $(X, \tau)$ сходится к точке $x_{0} \in X$, если любая окрестность точки $x_{0}$ содержит все элементы этой последовательности начиная с некоторого. То есть \begin{displaymath} \forall G \subset X \, (\exists U \in \tau: G \subset U, \, G \ni x_{0}) \Rightarrow (\exists N: \forall n \geqslant N \Rightarrow x_{n} \in G). \end{displaymath}

Введем определение слабой топологии. Пусть $X$ ~--- линейное топологическое (т. е. линейное и одновременно топологическое) пространство. Рассмотрим совокупность $\Omega$ непрерывных функционалов на $X$. Пусть $f_{1}, \ldots, f_{n} \in \Omega$ ~--- конечный набор таких функционалов, а число $\varepsilon > 0$. Тогда множество \begin{equation} \label{neighb} \{x: |f_{i}(x)| < \varepsilon, \, i \in \overline{1,n}\} \end{equation} открыто в $X$ и содержит точку 0, т. е. является некоторой окрестностью нуля. Пересечение двух окрестностей вида \eqref{neighb} является окрестностью вида \eqref{neighb}. Действительно, \begin{displaymath} \{x: |f_{i}(x)| < \varepsilon_{1}, \, i \in \overline{1,n}\} \cap \{x: |g_{j}(x)| < \varepsilon_{2}, \, j \in \overline{1,m}\} = \{x: |h_{k}(x)| < \varepsilon, \, k \in \overline{1,n + m}\}, \end{displaymath} где $\varepsilon = \max \{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\}$ и $h_{1} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{1}} f_{1}, \ldots, h_{n} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{1}} f_{n}, \, h_{n + 1} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{2}} g_{1}, \ldots, h_{n + m} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{2}} g_{m}$ (очевидно, $h_{k} \in \Omega \quad \forall k \in \overline{1, n + m}$). Следовательно, в $X$ можно ввести топологию, для которой совокупность множеств вида \eqref{neighb} будет определяющей системой окрестностей нуля. Эта система и называется \textbf{слабой топологией пространства $X$}. Говоря иначе, слабая топология $X$ это слабейшая из топологий, в которой непрерывны все линейные функционалы, непрерывные в исходной топологии пространства $X$. А сходимость в $X$, определяемая слабой топологией, называется \textbf{слабой сходимостью}.

Введем теперь понятие пространства, сопряженного к линейному топологическому пространству. Пусть $E$ ~--- это линейное топологическое пространство. Рассмотрим множество линейных непрерывных функционалов, определенных на $E$. Заметим, что если $f_{1}, f_{2}$ ~--- два таких функционала, то функционал $f = \alpha f_{1} + \beta f_{2}$ также линеен и непрерывен ($\alpha, \beta \in \mathbb R$). Следовательно, это множество (обозначим его $E^{*}$) является линейным пространством над $\mathbb R$. Его и будем называть \textbf{пространством, сопряженным к $E$}.

Действие линейного функционала $f \in E ^ {*}$ на элемент $x \in E$ будем обозначать так: $(f, x) := f(x)$.

Пусть $X$ ~--- линейное нормированное пространство. Последовательность $\{x_{n}\} \subset X$ \textbf{слабо сходится к элементу $x \in X$}, если для любого непрерывного линейного функционала $\varphi: X \to \mathbb R$ верно, что \begin{displaymath} \varphi(x_{n}) \to \varphi(x) \end{displaymath} при $n \to \infty$. Обозначение: $x_{n} \xrightarrow{w} x$.

\noindent \textbf{Теоремы о слабой сходимости}

\textbf{Теорема 1.} Слабый предел последовательности в нормированном пространстве всегда единственен.

\textbf{Доказательство.} Пусть $X = (X, ||\cdot||)$ ~--- нормированное пространство и последовательность $\{x_{n}\} \subset X$ такова, что $x_{n} \xrightarrow{w} \bar{x}, \, x_{n} \xrightarrow{w} \bar{\bar{x}}$. Возьмем произвольный $f \in X ^ {*}$, тогда \begin{gather*} f(x_{n}) \to f(\bar{x}), \, f(x_{n}) \to f(\bar{\bar{x}}), \end{gather*} и в силу единственности сильного предела $f(\bar{x}) = f(\bar{\bar{x}})$, откуда $f(\bar{x}) - f(\bar{\bar{x}}) = f(\bar{x} - \bar{\bar{x}}) = 0$. В силу произвольности выбора $f$ мы получаем $\bar{x} = \bar{\bar{x}}$. \qed

\textbf{Теорема 2.} Пусть $X = (X, ||\cdot||)$ ~--- нормированное пространство и $\{x_{n}\} \subset X$ ~--- слабо сходящаяся последовательность его точек. Тогда \begin{displaymath} \exists M > 0: ||x_{n}|| \leqslant M \quad \forall n \geqslant 1. \end{displaymath} Т. е. слабо сходящаяся последовательность ограничена.

\textbf{Доказательство.} Рассмотрим в сопряженном пространстве $X ^ {*}$ множества \begin{displaymath} A_{kn} = \{f \in X ^ {*}: |(f, x_{n})| \leqslant k\}, \quad k, n = 1,2, \ldots. \end{displaymath} Эти множества замкнуты в силу непрерывности $(f, x_{n})$ как функции от $f$ при фиксированном $x_{n}$. Следовательно, замкнуты и их пересечения $A_{k} = \displaystyle \cap_{n = 1} ^ {\infty} A_{kn}$. В силу слабой сходимости $\{x_{n}\}$ последовательность $\{(f, x_{n})\}$ ограничена для любого функционала $f \in X ^ {*}$, а потому справедливо представление \begin{displaymath} E ^ {*} = \cup_{k = 1} ^ {\infty} A_{k}. \end{displaymath} Так как пространство $X ^ {*}$ полно, то по теореме Бэра по крайней мере одно из множеств $A_{k}$ (пусть $A_{k_{0}}$) должно быть полно в некотором шаре $B(f_{0}, \varepsilon)$, а т. к. $A_{k_{0}}$ замкнуто, то получаем $B(f_{0}, \varepsilon) \subset A_{k_{0}}$. Значит, последовательность $\{x_{n}\}$ ограничена на шаре $B(f_{0}, \varepsilon)$, а следовательно, ограничена на любом шаре в $X ^ {*}$, в частности на единичном. То есть последовательность $\{x_{n}\}$ ограничена как последовательность элементов из $X ^ {**}$. В силу того, что вложение $X \subset X ^ {**}$ изометрично, получаем ограниченность $\{x_{n}\}$ в $X$. \qed

\textbf{Теорема 3.} Пусть $X = (X, ||\cdot||)$ ~--- нормированное пространство и $\{x_{n}\}$ ~--- последовательность его элементов. Тогда если выполнены условия \begin{enumerate} \item $\exists M > 0: ||x_{n}|| \leqslant M \quad \forall n \geqslant 1$; \item $f(x_{n}) \to f(x)$ для всякого $f \in \Delta$, где $\Delta \subset X ^ {*}$ ~--- такое множество функционалов, что его линейная оболочка всюду плотна в $X ^ {*}$, \end{enumerate} то последовательность $\{x_{n}\}$ слабо сходится к элементу $x \in E$.

\textbf{Доказательство.} Из условия 2 и определения действия над линейными функционалами следует, что если $\varphi$ есть линейная комбинация элементов $\Delta$, то $\varphi(x_{n}) \to \varphi(x)$. Пусть теперь функционал $\varphi \in X ^ {*}$ произвольный, а $\{\varphi_{k}\}$ ~--- сходящаяся к $\varphi$ последовательность линейных комбинаций элементов из $\Delta$. Покажем, что $\varphi(x_{n}) \to \varphi(x)$. Пусть константа $M$ такова, что \begin{displaymath} ||x_{n}|| \leqslant M \quad \forall n \geqslant 1, \, ||x|| \leqslant M. \end{displaymath} Оценим разность $|\varphi(x_{n}) - \varphi(x)|$. Так как $\varphi_{n} \to \varphi$, то для любого $\varepsilon > 0$ существует номер $K: ||\varphi - \varphi_{k}|| < \varepsilon \quad \forall k \geqslant K$. Поэтому \begin{gather*} |\varphi(x_{n}) - \varphi(x)| \leqslant |\varphi(x_{n}) - \varphi_{k}(x_{n})| + |\varphi_{k}(x_{n}) - \varphi_{k}(x)| + \\ + |\varphi_{k}(x) - \varphi(x)| \leqslant \varepsilon M + \varepsilon M + |\varphi_{k}(x_{n}) - \varphi_{k}(x)|. \end{gather*} Но по условию $\varphi_{k}(x_{n}) \to \varphi_{k}(x)$ при $n \to \infty$. А значит, $\varphi(x_{n}) \to \varphi(x)$ для любого $\varphi \in X ^ {*}$. \qed \\

\noindent \textbf{О связи сильной и слабой сходимостей}

\textbf{Теорема 4.} В нормированном пространстве $(X, ||\cdot||)$ последовательность \( \{x_n\} \), сильно сходящаяся к \( x \), слабо сходится к \( x \).

\textbf{Доказательство.} Для любого $f \in X ^ {*}$ \[ |f(x_n) - f(x)| = |f(x_n - x)| \leq \|f\| \cdot \|x_n - x\|, \quad \forall f \in X^*. \] Таким образом, факт сильной сходимости $||x_{n} - x|| \to 0$ влечет $x_{n} \xrightarrow{w} x$. \qed

Из слабой сходимости может не следовать сильная сходимость, о чем свидетельствует

\textbf{Пример 1.} \( H \) — гильбертово пространство со счетным ортонормированным базисом \( \{e_k\} \) (например, $H=l_2$ с базисом \( e_k = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots), \, k \geqslant 1 \), где на \( k \)-й позиции стоит 1, а остальные элементы равны 0). Как известно, в силу теоремы Рисса гильбертово пространство является самосопряженным: $H = H ^{*}$. Для любого вектора \( x \in H \) в силу неравенства Бесселя \begin{displaymath} \sum_{k = 1} ^ {\infty} | ( x, e_{k} ) | ^ {2} \leqslant |x| ^ {2} \end{displaymath} имеем сходимость \[ ( x, e_{k} ) \to 0, \quad \text{при } k \to \infty. \]

(Здесь запись $(x, e_{k})$ означает скалярное произведение векторов $x$ и $e_{k}$ в пространстве $H$). Таким образом, \( e_{k} \xrightarrow{w} 0 \). Но сильной сходимости нет, поскольку в силу ортонормированности базиса $|e_{k}| = 1 \quad \forall k \geqslant 1$ и $|e_{k}| \not \to 0$.

\textbf{Теорема 5.} Пусть в гильбертовом пространстве $(X, ||\cdot||)$ последовательность \( x_n\ \xrightarrow{w} x_{0}$. Тогда \(x_n \to x_0 \) тогда и только тогда, когда \(\|x_n\| \to \|x_0\|\).

(Эта теорема также может быть обобщена на случай, когда $X$ ~--- равномерно выпуклое нормированное линейное пространство.)

\textbf{Теорема 6 (Mazur).} Пусть $X$ ~--- линейное нормированное пространство, в котором последовательность \( x_n \xrightarrow{w} x_0 \in X \). Тогда существует последовательность \(\{v_n\}\), составленная из выпуклых комбинаций элементов \( \{x_n\} \) и такая, что \( v_{n} \to x_{0}\).

\textbf{Теорема 7.} Пусть $X, Y$ ~--- нормированные пространства и \( A \in L(X \to Y) \). Тогда если последовательность \( x_n \xrightarrow{w} x_0 \), то \( A x_n \xrightarrow{w} A x_0$. \textbf{Доказательство.} Имеем \begin{gather*} \forall f \in Y^* \quad f(\mathcal{A}(x_n)) - f(\mathcal{A}(x_0)) = f(\mathcal{A}(x_n) - \mathcal{A}(x_0)) = \\ = (f, \mathcal A (x_{n} - x_{0})) = (\mathcal A ^ {*} f, x_{n} - x_{0}) = (\mathcal{A}^{*} f)(x_n - x_0) \to 0, \end{gather*} где \(\mathcal{A}^*: Y ^ {*} \to X ^ {*}\) – сопряжённый оператор. \qed\\

\textbf{Примеры}

\textbf{Пример 2.} $X = \mathbb R ^ {n}$. Докажем, что в этом случае слабая сходимость совпадает с сильной. Поскольку сильная сходимость всегда влечет слабую, то покажем только, что в нашем примере верно и обратное. Действительно, пусть $e_{1}, \ldots, e_{n}$ ~--- ортонормированный базис, а последовательность $\{x_{n}\}$ слабо сходится к элементу $x \in X$. Пусть \begin{gather*} x_{k} = x_{k} ^ {(1)} e_{1} + \ldots + x_{k} ^ {(n)} e_{n} \quad \forall k \geqslant 1, \\ x = x ^ {(1)} e_{1} + \ldots + x ^ {(n)} e_{n}. \end{gather*} Тогда \begin{gather*} x_{k} ^ {(1)} = (x_{k}, e_{1}) \to x ^ {(1)}, \\ \ldots \\ x_{k} ^ {(n)} = (x_{k}, e_{n}) \to x ^ {(n)}, \end{gather*} т. е. выполнена покоординатная сходимость. Отсюда \begin{gather*} ||x_{k} - x|| = \Big( \sum_{i = 1} ^ {n} ( x_{k} ^ {(i)} - x ^ {(i)} ) ^ {2} \Big) ^ {\frac{1}{2}} \to 0, \end{gather*} что означает, что $\{x_{n}\}$ сильно сходится к $x$.

\textbf{Пример 3.} $X = \ell_1$. В пространстве \( \ell_1 \), согласно теореме Шура (Schur), слабая и сильная сходимости эквивалентны.

\textbf{Пример 4.} $X = C[a, b]$. В пространстве функций, непрерывных на отрезке $[a, b]$, слабая сходимость оказывается слабее, чем сильная. Наделим $X$ нормой $||\cdot||$, определенной так: $||f|| = \max_{a \leqslant t \leqslant b} |f(t)|$. Слабая сходимость $f_{n} \xrightarrow{w} f$ в $X$ равносильна выполнению двух условий: \begin{enumerate} \item $f_{n}(t) \to f(t)$ для любого $t \in [a, b]$ (поточечная сходимость); \item $\exists M > 0: ||f_{k}|| \leqslant M \quad \forall k \geqslant 1$ (равномерная ограниченность). \end{enumerate}

Рассмотрим последовательность $\{f_{n}\}$, заданную так: \begin{gather*} f_{n}(t) = \begin{cases} \displaystyle \frac{2 n}{b - a} (t - a), \quad t \in \Big[a, \, a + \displaystyle \frac{b - a}{2 n} \Big), \\ 2 - \displaystyle \frac{2 n}{b - a} (t - a), \quad t \in \Big[a + \displaystyle \frac{b - a}{2 n}, \, a + \displaystyle \frac{b - a}{n} \Big), \\ 0, \quad t \in \Big[a + \displaystyle \frac{b - a}{n}, \, b \Big]. \end{cases} \end{gather*} Нетрудно видеть, что для любого $n$ норма $||f_{n}|| = 1$ (и значит, последовательность $\{f_{n}\}$ равномерно ограничена), при этом есть поточечная сходимость $f_{n} \to f \equiv 0$. Однако сильной (по норме) сходимости к функции $f \equiv 0$ нет.

\noindent \textbf{Список литературы}

\begin{thebibliography}{99} \addcontentsline{toc}{section}{\bibname} \bibitem{KF} \textit{Колмогоров~A.\,Н., Фомин~С.\,В.} Элементы теории функций и функционального анализа. Элементы теории функций и функционального анализа ~-- 7-е изд. ~-- М.: Физматлит, 2004. \bibitem{Rud} \textit{Рудин~У.} Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. \bibitem{BogSm} \textit{Богачев~В.\,И., Смолянов~О.\,Г.} Действительный и функциональный анализ: университетский курс. М.~--Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2009. \end{thebibliography}