Решения ОДУ в смысле Каратеодори

В дрызг и брызг рванула осень запоздалою жарой

Рассмотрим систему ДУ\[\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).\] Мы хотим понять в каком смысле понимать траекторию этой системы \(x(\cdot)\), если управление \(u(\cdot)\) измеримая функция. Введем обозначение $$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$

Условия Каратеодори

Пусть \((t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \) и \(\exists a > 0, r > 0\) такие, что:

1. Пусть \(g(t,x)\) определена для \(\forall x \in B_r(x_0)\) и почти всех \(\forall t \in [t_0-a,t_0+a];\)
2. \(g(t,x)\) измерима по \(t\) для всех \(\forall x \in B_r(x_0)\), \(g(t,x)\) непрерывна по \(x\) для почти всех \(\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];\)
3. \(\exists m(\cdot) -- \) интегрируема по Лебегу при \(t \in t[t_0-a, t_0+a]\) такая, что

\( ||g(t,x)|| \geq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a]; \)

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

Абсолютно непрерывные функции

Мы бы хотели найти решение задачи Коши \begin{equation*} X(\omega) = \begin{cases} \dot x(t) = g(t, x(t))\\ x(t_0) = x^0, \end{cases} \end{equation*} в следующем классе функций:

1. \( x(\cdot) \in C; \)
2. для почти всех \( \dot \forall t\) существует \( \exists \dot x \)

Единственность решения

1. ты тут стартуешь
2. Александр Бабаев