Гильбертово пространство: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Kirich23 (обсуждение | вклад) |
Kirich23 (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 8: | Строка 8: | ||
==Связь нормы и скалярного произведения== | ==Связь нормы и скалярного произведения== | ||
| − | В | + | В '''гильбертовом пространстве''', как и во всяком евклидовом или унитарном пространстве, норма согласована со скалярным произведением. |
В общем случае норма и скалярное произведение никак не связаны между собой. | В общем случае норма и скалярное произведение никак не связаны между собой. | ||
| − | В гильбертовом пространстве норма связана со скалярным произведением следующим образом: | + | В '''гильбертовом пространстве''' норма связана со скалярным произведением следующим образом: |
$$ | $$ | ||
||x||=\sqrt{(x,x)} | ||x||=\sqrt{(x,x)} | ||
Версия 01:36, 22 декабря 2024
Определение
Определение 1. Полное евклидово (унитарное) бесконечномерное пространство называется Гильбертовым. Обозначается как $$H$$ .
Гильбертово пространство это частный случай банахова пространства.
Связь нормы и скалярного произведения
В гильбертовом пространстве, как и во всяком евклидовом или унитарном пространстве, норма согласована со скалярным произведением. В общем случае норма и скалярное произведение никак не связаны между собой.
В гильбертовом пространстве норма связана со скалярным произведением следующим образом: $$ ||x||=\sqrt{(x,x)} $$
Из аксиом скалярного произведения вытекает
неравенство Коши-Буняковкого
$$|(x,y)|\leq ||x|||y||$$, для любых $$x$$ и $$y \in H$$
