Сопряжённый линейный оператор

\begin{abstract} \textbf{Курсивное описание:} Сопряженный оператор — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе, естественным образом обобщающее операцию транспонирования матрицы на случай бесконечномерных банаховых пространств. \end{abstract}

Определение сопряженного оператора

Пусть $$E$$ и $$E_1$$ — банаховы пространства, и пусть $$A: E \rightarrow E_1$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$E^*$$ и $$E_1^*$$ сопряжённые пространства.

Определение 1. \textbf{Сопряжённым оператором} к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: E_1^* \rightarrow E^*$$, действующий по правилу: $$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } x \in E.$$ Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

Пример в конечномерном пространстве

Пример 1. Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$: $$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$: $$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$: $$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем: $$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что: $$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$ то есть оператор $$A^*$$ задаётся \textbf{транспонированной матрицей}.

Свойства сопряженных операторов

Теорема 1. Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$

Доказательство. Следует непосредственно из определения сопряженного оператора. $$\square$$

Норма сопряженного оператора

Теорема 2. Если $$A: E \rightarrow E_1$$ — ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами, то: $$$\|A^*\| = \|A\|.$$$

Доказательство.

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$ имеем: $$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$ Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in E_1^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда: $$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$ Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

Связь ядра и образа

Теорема 3. Пусть $$A: E \to E_1$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$E$$ на всё $$E_1$$. Тогда: $$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$$

Доказательство.

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$: $$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$$ Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in E$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

Пример интегрального оператора

Пример 2. Рассмотрим оператор $$A: L^2[0,1] \rightarrow L^2[0,1]$$: $$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$ где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L^2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем: $$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$$

Отсюда получаем: $$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$ то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.