Сопряжённый линейный оператор

Определение сопряженного оператора

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — банаховы пространства, и пусть $$A: X \rightarrow Y$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$X^*$$ и $$Y^*$$ сопряжённые пространства.

Определение 1. Сопряжённым оператором к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$, действующий по правилу: $$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } g \in Y^*, x \in X.$$ Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

Замечание 1. Если $$X$$ и $$Y$$ - гильбертовы пространства, то сопряженный оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$ можно определить через скалярное произведение: $$\langle Ax, y \rangle_Y = \langle x, A^* y \rangle_X \quad \text{для всех } x \in X, \; y \in Y.$$

Свойства сопряженных операторов

Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, где $$\overline{\lambda}$$ — комплексное сопряжение числа $$\lambda$$.

1. Если $$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный случай), то $$\overline{\lambda} = \lambda$$ и $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.
2. Если $$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный случай), то $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

Доказательство свойств. 1) Линейность $$A^*$$: Для любых $$g_1, g_2 \in Y^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем: \begin{align*} (A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x) \end{align*} Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in X$$, получаем: $$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$: Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$: \begin{align*} ((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x) \end{align*} Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$: Пусть $$g \in Y^*$$, $$x \in X$$. Тогда:

$$((\lambda A)^* g)(x) = g((\lambda A)x) = g(\lambda Ax).$$

3.1)$$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный). По линейности функционала $$g$$: $$g(\lambda Ax) = \lambda g(Ax) = \lambda (A^* g)(x) = (\lambda A^* g)(x).$$ Следовательно, $$(\lambda A)^* g = \lambda A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.

3.2)$$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный). По определению значения функционала на скалярно умноженном векторе в комплексном случае: $$g(\lambda Ax) = \overline{\lambda} g(Ax).$$ Тогда: $$\overline{\lambda} g(Ax) = \overline{\lambda} (A^* g)(x) = (\overline{\lambda} A^* g)(x).$$ Таким образом, $$(\lambda A)^* g = \overline{\lambda} A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

В обоих случаях верно $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, что в вещественном случае совпадает с $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$ в силу $$\overline{\lambda} = \lambda$$. $$\square$$

Норма сопряженного оператора

Определение 2 Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, $$A : X \to Y$$ — линейный ограниченный оператор. Нормой оператора $$A$$ называется число:$$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_X = 1} \|Ax\|_Y$$

Теорема 2. Пусть $$X, Y$$ - банаховы пространства $$A: X \rightarrow Y$$ — ограниченный линейный оператор, то: $$\|A^*\| = \|A\|.$$

Доказательство.

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$ имеем: $$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$ Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in Y^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда: $$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$ Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

Связь ядра и образа

Теорема 3. Пусть $$X,Y$$- банаховы пространства, $$A: X \to Y$$ — непрерывный линейный оператор, причем $$A$$ сюръективен($$IM A = Y$$). Тогда: $$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

Доказательство.

1) Включение $$\operatorname{Im} A^* \subset (\operatorname{Ker} A)^\perp$$:

Пусть $$f \in \operatorname{Im} A^*$$, т.е. существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$f = A^*g$4. Для любого $$x \in \operatorname{Ker} A$$: $$f(x) = (A^*g)(x) = g(Ax) = g(0) = 0$$, следовательно, $$f \in (\operatorname{Ker} A)^\perp$.

2) {Включение $$(\operatorname{Ker} A)^\perp \subset \operatorname{Im} A^*$$:

Пусть $$f \in (\operatorname{Ker} A)^\perp$$. Определим функционал $$g$$ на $$\operatorname{Im} A = Y$$ следующим образом: для $$y = Ax$$ положим $$g(y) = f(x)$$. Это определение корректно: если $$Ax_1 = Ax_2$$, то $$x_1 - x_2 \in \operatorname{Ker} A$$, и так как $$f \in (\operatorname{Ker} A)^\perp$$, то $$f(x_1 - x_2) = 0$$, откуда $$f(x_1) = f(x_2)$$.

Линейность $$g$$ очевидна. Докажем ограниченность. По теореме Банаха об открытом отображении (применённой к $$A: X \to Y$$), существует константа $$C > 0$$ такая, что для любого $$y \in Y$$ найдётся $$x \in X$$ с $$Ax = y$$ и $$\|x\| \leq C \|y\|$$. Тогда: $$|g(y)| = |f(x)| \leq \|f\| \cdot \|x\| \leq C \|f\| \cdot \|y\|.$$ Следовательно, $$g$$ ограничен. По теореме Хана---Банаха $$g$$ можно продолжить на всё $$Y$$ с сохранением нормы (обозначим продолжение тем же символом). По построению $$f = A^*g$$, поэтому $$f \in \operatorname{Im} A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

Примеры

Пример 1 Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$: $$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$: $$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$: $$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем: $$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что: $$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$ то есть оператор $$A^*$$ задаётся транспонированной матрицей.

Пример 2. Рассмотрим оператор $$A: L_2[0,1] \rightarrow L_2[0,1]$$: $$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$ где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L_2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем: $$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем: $$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$ то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

Список литературы

1. Точилин П. А. Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.