Интегральные уравнения Фредгольма: различия между версиями
| Строка 6: | Строка 6: | ||
'''Определение.''' | '''Определение.''' | ||
| − | Ядро интегрального оператора (ядро Фредгольма) - это функция от двух аргументов <math>K(x,\;y)</math>, определяющая некий интегральный оператор <math>\mathcal{A}</math> равенством | + | Ядро интегрального оператора (ядро Фредгольма) - это функция от двух аргументов <math>K(x,\;y)</math>, определяющая некий интегральный оператор <math>\mathcal{A}</math> равенством: <math>\varphi(y)=\mathcal{A}[\varphi(x)]=\int K(x,\;y)\varphi(x)\,d\mu(x),</math> |
| − | : <math>\varphi(y)=\mathcal{A}[\varphi(x)]=\int K(x,\;y)\varphi(x)\,d\mu(x),</math> | ||
где <math>x\in\mathbb{X}</math> — пространство с мерой <math>d\mu(x)</math>, а <math>\varphi(x)</math> принадлежит некоторому пространству функций, | где <math>x\in\mathbb{X}</math> — пространство с мерой <math>d\mu(x)</math>, а <math>\varphi(x)</math> принадлежит некоторому пространству функций, | ||
определённых на <math>\mathbb{X}</math>. | определённых на <math>\mathbb{X}</math>. | ||
Версия 14:31, 16 декабря 2025
Содержание
Определение и классификация
Определение. Интегральное уравнение Фредгольма - это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма.
Определение. Ядро интегрального оператора (ядро Фредгольма) - это функция от двух аргументов \(K(x,\;y)\), определяющая некий интегральный оператор \(\mathcal{A}\) равенством\[\varphi(y)=\mathcal{A}[\varphi(x)]=\int K(x,\;y)\varphi(x)\,d\mu(x),\] где \(x\in\mathbb{X}\) — пространство с мерой \(d\mu(x)\), а \(\varphi(x)\) принадлежит некоторому пространству функций, определённых на \(\mathbb{X}\).
Интегральные уравнения Фредгольма подразделяются на два типа:
Интегральное уравнение Фредгольма первого рода.
\(\psi(s) = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt\)
где функция \(K\) является ядром уравнения, а оператор \(A\), определяемый как \(A\varphi = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt\), называется оператором (или интегралом) Фредгольма.
