Интегральные уравнения Фредгольма: различия между версиями
| Строка 14: | Строка 14: | ||
'''Интегральное уравнение Фредгольма первого рода.''' | '''Интегральное уравнение Фредгольма первого рода.''' | ||
| − | : <math> | + | : <math>f(x)=\int\limits_a^b\!K(x, s)\varphi(s)\,ds</math> |
| − | Задача состоит в том, что при заданной непрерывной функции ядра <math>K( | + | Задача состоит в том, что при заданной непрерывной функции ядра <math>K(x, s)</math> и функции <math> f(x)</math> найти функцию <math>\varphi(s)</math>. |
'''Интегральное уравнение Фредгольма второго рода.''' | '''Интегральное уравнение Фредгольма второго рода.''' | ||
| − | : <math> | + | : <math>\varphi(x) = \lambda \int\limits_a^b\! K(x, s)\varphi(s)\,ds + f(x)</math>, где <math>\lambda</math> - числовой параметр. |
| + | |||
| + | Задача состоит в том, чтобы, имея ядро <math>K(t, s)</math> и функцию <math>f(x)</math>, найти функцию <math>\varphi(x)</math>. При этом существование решения и его множественность зависит от числа <math>\lambda </math>, называемого характеристическим числом (обратное ему называется собственным) | ||
Версия 15:07, 16 декабря 2025
Содержание
Определение и классификация
Определение. Интегральное уравнение Фредгольма - это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма.
Определение. Ядро интегрального оператора (ядро Фредгольма) - это функция от двух аргументов \(K(x,\;y)\), определяющая некий интегральный оператор \(\mathcal{A}\) равенством\[\varphi(y)=\mathcal{A}[\varphi(x)]=\int K(x,\;y)\varphi(x)\,d\mu(x),\] где \(x\in\mathbb{X}\) — пространство с мерой \(d\mu(x)\), а \(\varphi(x)\) принадлежит некоторому пространству функций, определённых на \(\mathbb{X}\).
Интегральные уравнения Фредгольма подразделяются на два типа:
Интегральное уравнение Фредгольма первого рода.
\[f(x)=\int\limits_a^b\!K(x, s)\varphi(s)\,ds\]
Задача состоит в том, что при заданной непрерывной функции ядра \(K(x, s)\) и функции \( f(x)\) найти функцию \(\varphi(s)\).
Интегральное уравнение Фредгольма второго рода.
\[\varphi(x) = \lambda \int\limits_a^b\! K(x, s)\varphi(s)\,ds + f(x)\], где \(\lambda\) - числовой параметр.
Задача состоит в том, чтобы, имея ядро \(K(t, s)\) и функцию \(f(x)\), найти функцию \(\varphi(x)\). При этом существование решения и его множественность зависит от числа \(\lambda \), называемого характеристическим числом (обратное ему называется собственным)
