Интегральные уравнения Фредгольма: различия между версиями
| Строка 10: | Строка 10: | ||
определённых на <math>\mathbb{X}</math>. | определённых на <math>\mathbb{X}</math>. | ||
| − | Интегральные уравнения Фредгольма подразделяются на два типа (каждый из типов может быть однородным (<math>f(x) \equiv 0 </math>) или неоднородным ((<math>f(x) \ | + | Интегральные уравнения Фредгольма подразделяются на два типа (каждый из типов может быть однородным (<math>f(x) \equiv 0 </math>) или неоднородным ((<math>f(x) \not\equiv 0 </math>))): |
'''Интегральное уравнение Фредгольма первого рода.''' | '''Интегральное уравнение Фредгольма первого рода.''' | ||
| Строка 23: | Строка 23: | ||
Задача состоит в том, чтобы, имея ядро <math>K(t, s)</math> и функцию <math>f(x)</math>, найти функцию <math>\varphi(x)</math>. При этом существование решения и его множественность зависит от числа <math>\lambda </math>, называемого характеристическим числом (обратное ему называется собственным). | Задача состоит в том, чтобы, имея ядро <math>K(t, s)</math> и функцию <math>f(x)</math>, найти функцию <math>\varphi(x)</math>. При этом существование решения и его множественность зависит от числа <math>\lambda </math>, называемого характеристическим числом (обратное ему называется собственным). | ||
| + | |||
| + | =Основные методы решения= | ||
| + | '''Метод последовательных приближений (метод Неймана)''' | ||
| + | |||
| + | Является одним из основных методов решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Для уравнения | ||
| + | |||
| + | : <math>f(x) =\varphi(x) - \lambda \int\limits_a^b\! K(x, s)\varphi(s)\,ds</math> | ||
| + | |||
| + | решение ищется в виде ряда Неймана: | ||
| + | |||
| + | : <math>\varphi(x) = \sum_{n=0}^\inf \lambda^n\varphi_n(x)</math> | ||
| + | =Применение= | ||
| + | |||
| + | =Список литературы= | ||
Версия 15:28, 16 декабря 2025
Определение и классификация
Определение. Интегральное уравнение Фредгольма - это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма.
Определение. Ядро интегрального оператора (ядро Фредгольма) - это функция от двух аргументов \(K(x,\;y)\), определяющая некий интегральный оператор \(\mathcal{A}\) равенством\[\varphi(y)=\mathcal{A}[\varphi(x)]=\int K(x,\;y)\varphi(x)\,d\mu(x),\] где \(x\in\mathbb{X}\) — пространство с мерой \(d\mu(x)\), а \(\varphi(x)\) принадлежит некоторому пространству функций, определённых на \(\mathbb{X}\).
Интегральные уравнения Фредгольма подразделяются на два типа (каждый из типов может быть однородным (\(f(x) \equiv 0 \)) или неоднородным ((\(f(x) \not\equiv 0 \)))):
Интегральное уравнение Фредгольма первого рода.
\[f(x)=\int\limits_a^b\!K(x, s)\varphi(s)\,ds\]
Задача состоит в том, что при заданной непрерывной функции ядра \(K(x, s)\) и функции \( f(x)\) найти функцию \(\varphi(s)\).
Интегральное уравнение Фредгольма второго рода.
\[f(x) =\varphi(x) - \lambda \int\limits_a^b\! K(x, s)\varphi(s)\,ds\] где \(\lambda\) - числовой параметр.
Задача состоит в том, чтобы, имея ядро \(K(t, s)\) и функцию \(f(x)\), найти функцию \(\varphi(x)\). При этом существование решения и его множественность зависит от числа \(\lambda \), называемого характеристическим числом (обратное ему называется собственным).
Основные методы решения
Метод последовательных приближений (метод Неймана)
Является одним из основных методов решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Для уравнения
\[f(x) =\varphi(x) - \lambda \int\limits_a^b\! K(x, s)\varphi(s)\,ds\]
решение ищется в виде ряда Неймана:
\[\varphi(x) = \sum_{n=0}^\inf \lambda^n\varphi_n(x)\]
