Сепарабельность метрического пространства

Плотные множества

Определение 1. Пусть $$(X,d)$$ — метрическое пространство и $$A \subset X$$. Множество $$A$$ называется плотным в $$X$$, если для любого $$x \in X$$ и любого $$\varepsilon > 0$$ существует элемент $$a \in A$$ такой, что $$ d(x,a) < \varepsilon. $$

Эквивалентно, замыкание множества $$A$$ совпадает со всем пространством $$X$$.

Сепарабельные метрические пространства

Определение 2. Метрическое пространство $$(X,d)$$ называется сепарабельным, если в нём существует счётное плотное подмножество.

Примеры сепарабельных пространств

Пример 1. Пространство $$\mathbb{R}$$ с обычной метрикой является сепарабельным.

Доказательство. Множество рациональных чисел $$\mathbb{Q}$$ счётно и плотно в $$\mathbb{R}$$, так как между любыми двумя вещественными числами существует рациональное. $$\square$$

Пример 2. Евклидово пространство $$\mathbb{R}^n$$ является сепарабельным.

Доказательство. Рассмотрим множество $$ \mathbb{Q}^n = \{(q_1,\dots,q_n) : q_k \in \mathbb{Q}\}. $$ Оно счётно как декартово произведение счётных множеств и плотно в $$\mathbb{R}^n$$. $$\square$$

Свойства сепарабельных пространств

Теорема 1.

1. Любое подпространство сепарабельного метрического пространства является сепарабельным.
2. Счётное объединение сепарабельных подмножеств метрического пространства является сепарабельным.

Доказательство. 1. Пусть \((X,d)\) — сепарабельное метрическое пространство, и пусть \(D = \{d_1, d_2, \ldots\}\) — счётное плотное подмножество \(X\). Рассмотрим подпространство \(Y \subseteq X\).

Покажем, что множество \(D_Y = D \cap Y\) плотно в \(Y\).

Пусть \(y \in Y\) и \(\varepsilon > 0\). Так как \(D\) — плотное множество в \(X\), существует \(d_i \in D\) такое, что \[ d(y, d_i) < \varepsilon. \]

Если \(d_i \in Y\), то всё хорошо, так как \(d_i \in D_Y = D \cap Y\).

Если же \(d_i \notin Y\), то возьмём окрестность \(B_\varepsilon(y) = \{x \in X : d(x,y) < \varepsilon\}\).

Поскольку \(Y\) — подмножество \(X\), рассмотрим пересечение \(B_\varepsilon(y) \cap Y\).

Из определения плотности \(D\) в \(X\) следует, что множество \(D\) пересекается с любым непустым открытым подмножеством \(X\), в частности, с \(B_\varepsilon(y)\).

Если бы \(D_Y = D \cap Y\) было пусто, то пересечение \(D \cap (B_\varepsilon(y) \cap Y)\) тоже было бы пусто.

Однако это означает, что в окрестности \(y\) внутри \(Y\) отсутствуют точки из \(D\), что противоречит тому, что \(D\) плотное в \(X\).

Следовательно, \(D_Y\) непусто и для любого \(\varepsilon > 0\) существует точка \(d_j \in D_Y\), такая что \[ d(y, d_j) < \varepsilon. \]

Таким образом, \(D_Y\) плотно в \(Y\).

2. Пусть теперь \[ A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n, \] где каждое \(A_n \subseteq X\) сепарабельно. Для каждого \(n\) существует счётное плотное множество \(D_n \subseteq A_n\).

Рассмотрим множество \[ D = \bigcup_{n=1}^\infty D_n. \] Так как объединение счётного количества счётных множеств счётно, множество \(D\) — счётно.

Покажем, что \(D\) плотно в \(A\).

Для любой точки \(a \in A\) и любого \(\varepsilon > 0\) существует номер \(k\), такой что \(a \in A_k\), а так как \(D_k\) плотно в \(A_k\), существует \(d \in D_k \subseteq D\) такой, что \[ d(a, d) < \varepsilon. \] Таким образом, \(D\) плотно в \(A\), и \(A\) сепарабельно. \(\square\)

Сепарабельность нормированных пространств

Пусть $$X$$ — нормированное пространство с нормой $$\|\cdot\|$$. Норма порождает метрику $$ d(x,y) = \|x-y\|. $$

Определение 3. Нормированное пространство называется сепарабельным, если соответствующее ему метрическое пространство сепарабельно.

Теорема 2. Любое конечномерное нормированное пространство является сепарабельным.

Доказательство. Пусть $$\dim X = n$$ и $$\{e_1,\dots,e_n\}$$ — базис в $$X$$. Тогда любой элемент $$x \in X$$ представим в виде $$ x = \sum_{k=1}^{n} c_k e_k, $$ где $$c_k \in \mathbb{R}$$ (или $$\mathbb{C}$$).

Рассмотрим множество векторов с рациональными коэффициентами $$c_k \in \mathbb{Q}$$. Оно счётно и плотно в $$X$$ в силу эквивалентности норм в конечномерных пространствах. $$\square$$

Сепарабельность функциональных пространств

Пример 3. Пространство $$C[0,1]$$ с нормой $$ \|x\|_{C[0,1]} = \max_{t \in [0,1]} |x(t)| $$ является сепарабельным.

Идея доказательства. Множество алгебраических многочленов с рациональными коэффициентами счётно и плотно в $$C[0,1]$$ по теореме Вейерштрасса. $$\square$$

Сепарабельные гильбертовы пространства

Определение 4. Гильбертово пространство $$H$$ называется сепарабельным, если в нём существует счётное плотное подмножество.

Теорема 3. Гильбертово пространство $$H$$ сепарабельно тогда и только тогда, когда в нём существует счётный ортонормированный базис.

Доказательство (идея). Если в $$H$$ существует счётный ортонормированный базис, то его линейная оболочка с рациональными коэффициентами счётна и плотна. Обратно, из сепарабельности с помощью процесса ортогонализации Грама–Шмидта можно построить счётную ортонормированную систему, плотную в $$H$$. $$\square$$

Несепарабельные пространства

Пример 4. Пространство $$\ell^\infty$$ всех ограниченных последовательностей с нормой $$ \|x\|_\infty = \sup_n |x_n| $$ не является сепарабельным.

Доказательство. Для каждого подмножества $$A \subset \mathbb{N}$$ определим последовательность $$ x^{(A)} = (x_n^{(A)}), \quad x_n^{(A)} = \begin{cases} 1, & n \in A, \\ 0, & n \notin A. \end{cases} $$

Все такие последовательности принадлежат $$\ell^\infty$$ и имеют норму $$1$$. Если $$A \neq B$$, то существует номер $$k$$ такой, что $$ |x_k^{(A)} - x_k^{(B)}| = 1. $$ Следовательно, $$ \|x^{(A)} - x^{(B)}\|_\infty = 1. $$

Таким образом, множество $$\{x^{(A)} : A \subset \mathbb{N}\}$$ несчётно и расстояние между любыми двумя его различными элементами не меньше $$1$$. Такое множество не может иметь счётного плотного подмножества. Следовательно, пространство $$\ell^\infty$$ не является сепарабельным. $$\square$$

Список литературы

1. Точилин П.А. Лекции по курсу «Функциональный анализ», 2025.

2. Треногин В.А. «Функциональный анализ», 2002.