Задача Майера-Больца

Задача Майера-Больца - это задача оптимального управления со свободным правым концом и интегрально-терминальным функционалом.

Определение

Рассмотрим задачу оптимального управления \begin{gather*} \begin{cases} \dot{x} = f(t, x, u) \\ x(t_{0}) = x^{0} \end{cases} \end{gather*} $$t_{0}, x^{0}, t_{1}$$ - фиксированы \begin{gather*} \mathcal{J} \displaystyle = \int\limits_{t_{0}}^{t_{1}} f^{0}(x(t), u(t))dt + \phi(x(t_{1})) \to \inf_{u(\cdot)} \end{gather*} Полученная задача называется задачей Майера-Больца.

Формулировка Принципа максимума Л.С. Понтрягина

Проведем стандартную замену: $$ \hat{x}^{0}, \hat{t}_{0}, \hat{t}_{1} $$ \begin{gather*} \begin{cases} \dot{x}^{0} = f^{0} \\ x^{0}(t_{0}) = 0 \end{cases} \end{gather*} И получаем \begin{gather*} \mathcal{J} = x^{0}(t_{1}) + \phi(x(t_{1})) \end{gather*} Для остальных ограничений получим \begin{gather*} \varphi_{1} = t_{0} - \hat{t}_{0} \\ \varphi_{2} = t_{1} - \hat{t}_{1} \\ \varphi_{3} = x^{0}_{0} \\ \varphi_{4} = x^{0}_{1} - \hat{x}^{0}_{1} \\ \ldots \\ \varphi_{n+3} = x^{0}_{n} - \hat{x}^{0}_{n} \end{gather*} Принцип максимума Понтрягина (далее ПМП)

Пусть $$ (x^{*}(t), u^{*}(t)) $$ - оптимальная пара, тогда $$ \exists \psi^{*} : [t^{*}_{0}, t^{*}_{1}] \to \mathbb{R}^{n+1} $$ :

1. условие нетривиальности

\begin{gather*} \psi^{*}(t) \neq 0, \forall t \in [t^{*}_{0}, t^{*}_{1}] \end{gather*}

1. Сопряженная система

\begin{gather*} \frac{d\psi}{dt} = -\frac{d\mathcal{H}}{dt}\bigg|_{x=x^{*} \\ u=u^{*}} \end{gather*}

1. Условие максимума

\begin{gather*} \mathal{H}\bigg|_{x=x^{*} \\ u=u^{*} \\ \psi = \psi^{*}} = \sup_{u(\cdot)} \mathal{H}\bigg|_{x=x^{*} \\ \psi=\psi^{*}} \end{gather*}

1. Условие трансверсальности