Принцип максимума для задачи быстродействия

Общая постановка линейной задачи быстродействия

В самом общем случае линейная задача быстродействия имеет следующую постановку:

\[ \begin{cases} \dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \quad t \in \left[ t_{0}, t_{1} \right]\\ x, f \in \mathbb{R}^{n}, \quad A \in \mathbb{R}^{n\times n}, \quad u \in \mathbb{R}^{m}, \quad B \in \mathbb{R}^{n\times m}, \\ A(\cdot), B{(\cdot)}, f(\cdot) \in C\left[t_{0}, t_{1} \right]\\ u(t) \in \mathcal{P}(t), \quad \forall t\\ x(t_{0}) \in \mathcal{X}_{0} \in \text{conv}\;\mathbb{R}^{n}, \quad x(t_{1}) \in \mathcal{X}_{1} \in \text{conv} \mathbb{R}^{n}\\ J = t_{1} - t_{0} \rightarrow \min \end{cases} \]

Здесь \(\mathcal{X}_{0}\) -- начальное множество значений фазового вектора, \(\mathcal{X}_{1}\) -- целевое множество значений фазового вектора, \(\mathcal{P}(\cdot)\) -- область управления. Считаем, что допустимое управление принадлежит классу кусочно-непрерывных функций.

Принцип максимума Понтрягина

Необходимым условием оптимальности управления является принцип максимума Понтрягина. Сформулируем его для линейной задачи быстродействия, поставленной в общем виде.