Принцип максимума для задачи быстродействия

Общая постановка линейной задачи быстродействия

В самом общем случае линейная задача быстродействия имеет следующую постановку:

\[ \begin{cases} \dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \quad t \in \left[ t_{0}, t_{1} \right]\\ x, f \in \mathbb{R}^{n}, \quad A \in \mathbb{R}^{n\times n}, \quad u \in \mathbb{R}^{m}, \quad B \in \mathbb{R}^{n\times m}, \\ A(\cdot), B{(\cdot)}, f(\cdot) \in C\left[t_{0}, t_{1} \right]\\ u(t) \in \mathcal{P}(t), \quad \forall t\\ x(t_{0}) \in \mathcal{X}_{0} \in \text{conv}\;\mathbb{R}^{n}, \quad x(t_{1}) \in \mathcal{X}_{1} \in \text{conv} \mathbb{R}^{n}\\ J = t_{1} - t_{0} \rightarrow \min \end{cases} \]

Здесь \(\mathcal{X}_{0}\) -- начальное множество значений фазового вектора, \(\mathcal{X}_{1}\) -- целевое множество значений фазового вектора, \(\mathcal{P}(\cdot)\) -- область управления. Считаем, что допустимое управление принадлежит классу кусочно-непрерывных функций.

Принцип максимума Понтрягина

Необходимым условием оптимальности управления является принцип максимума Понтрягина. Сформулируем его для линейной задачи быстродействия, поставленной в общем виде.

Теорема (Принцип максимума Понтрягина)

Пусть \( \{ x^{*}(\cdot), \; u^{*}(\cdot) \} \) --- оптимальная пара для линейной задачи быстродействия. Тогда существует непрерывная функция \( \psi(t) \), определенная при \( t \geqslant t_{0} \), являющаяся нетривиальным решением системы

\[ \begin{cases} \dot \psi(t) = -A^{T}(t)\psi(t) \\ \psi(t_{0}) = \psi_{0} \neq \theta \end{cases} \]

и такая, что выполнены условия:

1. \(\langle\psi(t), B(t)u^{*}(t)\rangle = \rho\left(\psi(t)| B(t) \mathcal{P}(t)\right) \quad\)(принцип максимума),
2. \(\langle\psi(t_{0}), x^{*}(t_{0})\rangle = \rho(\psi(t_{0})| \mathcal{X}_{0}) \quad\)(условие трансверсальности на левом конце),
3. \(\langle-\psi(t_{1}), x^{*}(t_{1})\rangle = \rho(-\psi(t_{1})| \mathcal{X}_{1}) \quad\)(условие трансверсальности на правом конце).

Общая постановка нелинейной задачи быстродействия для автономной системы

Пусть имеется управляемый процесс, описываемый системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

\[ \begin{cases} \dot x^{1} = f^{1}\left(x^{1}(t), \ldots , x^{n}(t), u^{1}(t), \ldots , u^{m}(t) \right) \\ \dot x^{2} = f^{2}\left(x^{1}(t), \ldots , x^{n}(t), u^{1}(t), \ldots , u^{m}(t) \right) \\ \cdots \\ \dot x^{n} = f^{n}\left(x^{1}(t), \ldots , x^{n}(t), u^{1}(t), \ldots , u^{m}(t) \right), \\ \end{cases} \]

или, в векторной форме:

\[ \dot x = f(x, u), \\ \]

где \(x = (x^{1}, \ldots , x^{n})', \;f = (f^{1}, \ldots , f^{n})', \; u=(u^{1}, \ldots, u^{m})'\). Здесь \(t\) - время, \(x^1, \,\ldots\,, x^n\) - фазовые координаты управляемого объекта, определяющие его состояние в каждый момент времени \(t\), и \(u^1, \,\ldots\,, u^m\) - параметры управления, определяющие ход процесса.

Класс допустимых управлений состоит из кусочно-непрерывных функций \(u(t)\) со значениями в некотором множестве \(U\), называемом областью управления. В фазовом пространстве заданы начальное множество \(S_{0}\) и целевое множество \(S_{1}\), являющиеся гладкими многообразиями. Фиксированы начальный и конечный моменты времени \(t_0\) и \(t_1\).

Пусть, далее, задана еще одна функция \(f^{0}(x, u)\), непрерывная по совокупности переменных \((x, u)\) и непрерывно дифференцируемая по \(x\).

Требуется найти допустимое управление \(u(t)\), которое на сегменте \(\left[t_0,\,t_1\right]\) переводит фазовую точку из некоторого (заранее не заданного) положения \(x_{0} \in S_{0}) в некоторое (заранее не заданное) положение \(x_{1} \in S_{1}\), и на котором функционал

\[ J = \int\limits_{t_{0}}^{t_{1}} f^{0}(x(t), u(t)) dt \\ \]

достигает своего минимального значения.