|
|
| Строка 13: |
Строка 13: |
| | \(\mathcal{Z}(v) \in \mathcal{B}_R(0) \). | | \(\mathcal{Z}(v) \in \mathcal{B}_R(0) \). |
| | | | |
| − | \(g|_{V \times \mathcal{B}_R(0)}\) - непрерывна, следовательно, по теореме Кантора, \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta(\varepsilon) > 0: \forall v', v'' \in V, ||v' - v''||< \delta, \forall z', z'' \in \mathcal{B}_{R(0)}, ||z'-z''|| < \delta\) верно \(|g(v',z')-g(v'',z'')| < \varepsilon \) | + | \(g|_{V \times \mathcal{B}_R(0)}\) непрерывна, следовательно, по теореме Кантора, \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta(\varepsilon) > 0\) такие, что \( \forall v', v'' \in V, ||v' - v''||< \delta, \forall z', z'' \in \mathcal{B}_{R(0)}, ||z'-z''|| < \delta\) верно: \(|g(v',z')-g(v'',z'')| < \varepsilon \). |
| | | | |
| − | \[ | + | Исследуем непрерывность \(H(v)\) при \(v = v^0 \in V\). |
| − | <B^Tl^0, u^*> = \max_{u \in \mathcal{P}}<B^Tl^0, u>,
| |
| − | \]
| |
| | | | |
| − | | + | \(\mathcal{Z}\) непрерывна на V, следовательно, для данного \(\delta\) существует \(\sim\delta(\delta(\varepsilon)) > 0\) |
| − | | |
| − | Рассматривается линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
| |
| − | \[ | |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \dot x(t) = A(t)x(t) + c(t), \\
| |
| − | x(t_0) = x^0.
| |
| − | \end{cases} | |
| − | \] | |
| − | В оптимальном управлении в неоднородность включено еще и управление, то есть $$c(t) = B(t)u(t) + f(t)$$.
| |
| − | | |
| − | Пусть $$X(t, \tau)$$ — [[фундаментальная матрица Коши]].
| |
| − | Тогда решение данного уравнения находится по '''формуле Коши''':
| |
| − | \[
| |
| − | x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau,
| |
| − | \]
| |
| − | Причем $$t$$ может быть как больше, так и меньше $$t_0$$, вид формулы не меняется.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | Рассмотрим, как на данное дифференциальное уравнение действует линейная замена переменных $$y(t) = F(t)x(t)$$,
| |
| − | где матрица $$F(t)$$ не вырождена в любой момент времени.
| |
| − | Тогда:
| |
| − | \[
| |
| − | \dot y(t) = \dot F(t)x(t) + F(t) \dot x(t) = \dot F(t) F^{-1}(t) y(t) + F(t) \left( A(t) F^{-1}(t) y(t) + c(t) \right) = \\
| |
| − | = \left( \dot F(t) + F(t) A(t) \right) F^{-1}(t) y(t) + F(t) c(t).
| |
| − | \]
| |
| − | Заметим, что тогда $$y(t)$$ удовлетворяет дифференциальному уравнению:
| |
| − | \[
| |
| − | \dot y(t) = \tilde A(t) y(t) + \tilde c(t),
| |
| − | \]
| |
| − | где $$\tilde A(t) = \left( \dot F(t) + F(t) A(t) \right) F^{-1}(t)$$ и $$\tilde c(t) = F(t) c(t)$$.
| |
| − | Тогда мы можем выбрать такую замену переменной, что $$\tilde A(t) \equiv 0$$.
| |
| − | Для этого должно выполняться:
| |
| − | \[
| |
| − | \dot F(t) = -F(t)A(t).
| |
| − | \]
| |
| − | Тогда положим $$F(t) = X(t_0, t)$$, чтобы также выполнялось $$y(t_0) = F(t_0)x^0 = x^0$$.
| |
| − | Таким образом, пришли к следующей задаче Коши для $$y(t)$$:
| |
| − | \[
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \dot y(t) = X(t_0, t)c(t), \\
| |
| − | y(t_0) = x^0,
| |
| − | \end{cases} | |
| − | \] | |
| − | Причем правая часть не зависит от $$y(t)$$, а значит решением будет просто интеграл:
| |
| − | \[ | |
| − | y(t) = x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t_0, \tau)c(\tau)\,d\tau.
| |
| − | \]
| |
| − | Возвращаясь к исходной переменной и используя полугрупповое свойство и его следствие $$\left( X(t_0, t)\right)^{-1} = X(t, t_0)$$, получаем формулу Коши:
| |
| − | \[
| |
| − | x(t) = F^{-1} y(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, t_0) X(t_0, \tau)c(\tau)\,d\tau =\\
| |
| − | = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau.
| |
| − | \]
| |
| − | В оптимальном управлении обычно $$c(t) = B(t)u(t) + f(t)$$, и формула Коши принимает вид:
| |
| − | \[
| |
| − | x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau) \left[B(\tau)u(\tau) + f(\tau)\right]\,d\tau.
| |
| − | \]
| |
| − | | |
| − | == Обобщение на случай матричных ЛДУ ==
| |
| − | | |
| − | Рассмотрим следующую задачу Коши:
| |
| − | \[
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \dot X(t) = A(t)X(t) - X(t)B(t) + C(t), \\
| |
| − | X(t_0) = X^0.
| |
| − | \end{cases}
| |
| − | \]
| |
| − | Тогда ее решением будет:
| |
| − | \[
| |
| − | X(t) = U(t,t_0) X^0 V(t_0,t)+\int\limits_{t_0}^t U(t,\tau)C(\tau)V(\tau,t)\,d\tau,
| |
| − | \]
| |
| − | где $$U(t, \tau)$$ и $$V(t, \tau)$$ — фундаментальные матрицы для задач Коши с матрицами $$A(t)$$ и $$B(t)$$ соответственно.
| |
Лемма о непрерывности функции максимума
Пусть
1) \(z: V \Rightarrow\) comp \(\mathbb{R}^l, V \subseteq \mathbb{R}^k, z\) непрерывна и равномерно ограничена на \(V\). То есть, \(V \in\) comp \(\mathbb{R}^k\).
2) \(g: V \times \mathbb{R}^l \Rightarrow \mathbb{R}, g\) непрерывна по \((v,z) \in V \times \mathbb{R}^l\).
Тогда \(H(v) = \underset{z \in \mathcal{Z} (v)}{max} \{g(v,z)\}\) - непрерывна на \(V\).
Доказательство леммы
\(\mathcal{Z}(v) \in \mathcal{B}_R(0) \).
\(g|_{V \times \mathcal{B}_R(0)}\) непрерывна, следовательно, по теореме Кантора, \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta(\varepsilon) > 0\) такие, что \( \forall v', v'' \in V, ||v' - v''||< \delta, \forall z', z'' \in \mathcal{B}_{R(0)}, ||z'-z''|| < \delta\) верно: \(|g(v',z')-g(v'',z'')| < \varepsilon \).
Исследуем непрерывность \(H(v)\) при \(v = v^0 \in V\).
\(\mathcal{Z}\) непрерывна на V, следовательно, для данного \(\delta\) существует \(\sim\delta(\delta(\varepsilon)) > 0\)
