Многозначные отображения и их свойства: различия между версиями

Материал из sawiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 3: Строка 3:
 
== Определение ==
 
== Определение ==
 
Отображение  $$F$$, которое каждому $$x \in X$$ ставит в соответствие непустое замкнутое подмножество $$F(x) \subset Y$$, называется '''многозначным отображением'''.
 
Отображение  $$F$$, которое каждому $$x \in X$$ ставит в соответствие непустое замкнутое подмножество $$F(x) \subset Y$$, называется '''многозначным отображением'''.
 +
 +
Приведем пример многозначного отображения. Пусть $$X=Y=\mathbb{R}$$. Ставя в соответствие каждому значению $$x\in X$$ отрезок $$[-|x|,\,|x|]$$, мы получаем многозначное отображение $$F:\mathbb{R} \to \Omega (\mathbb{R} ).$$
  
 
== Вспомогательные определения и утверждения ==
 
== Вспомогательные определения и утверждения ==
Строка 15: Строка 17:
 
     \text{dist}(y_0, F(x)) \rightarrow 0, x \rightarrow x_0, \; \forall y_0 \in F(x_0).
 
     \text{dist}(y_0, F(x)) \rightarrow 0, x \rightarrow x_0, \; \forall y_0 \in F(x_0).
 
\]
 
\]
 +
 +
В качестве примера рассмотрим $$X-$$ отрезок $$[0, 2]$$, $$Y-$$ отрезок $$[0, 1]$$ с естественной метрикой. Рассмотрим многозначные отображения $$F_1, F_2$$:
 +
<br>
 +
\[
 +
\begin{aligned} F_1(x) = \begin{cases} [0, 1]&x \neq 1;\\ \{0\}, &x = 1; \end{cases} \end{aligned}
 +
\qquad
 +
\begin{aligned}  F_2(x) = \begin{cases} \{0\}, &x \in [0, 1);\\ \{1\}, &x \in (1, 2);\\ [0, 1], &x = 1. \end{cases} \end{aligned}
 +
\]
 +
 +
Многозначное отображение $$F_1$$ секвенциально полунепрерывно снизу, но не является секвенциально полунепрерывным сверху в точке $$x = 1$$, а многозначное отображение $$F_2$$, наоборот, секвенциально полунепрерывно сверху, но не является секвенциально полунепрерывным снизу в точке $$x = 1$$.
 +
 
* Многозначное отображение $$F$$ называется ''$$h$$-полунепрерывным сверху в точке $$x_0$$'' $$\in X$$, если для произвольного $$\varepsilon > 0$$ существует такое $$\delta > 0$$, что  
 
* Многозначное отображение $$F$$ называется ''$$h$$-полунепрерывным сверху в точке $$x_0$$'' $$\in X$$, если для произвольного $$\varepsilon > 0$$ существует такое $$\delta > 0$$, что  
 
\[
 
\[
Строка 25: Строка 38:
 
\]
 
\]
 
Если многозначное отображение $$h$$-полунепрерывно снизу в каждой точке, то оно называется ''$$h$$-полунепрерывным снизу''.
 
Если многозначное отображение $$h$$-полунепрерывно снизу в каждой точке, то оно называется ''$$h$$-полунепрерывным снизу''.
 +
 +
Приведем пример. Пусть $$F -$$ $$h$$-полунепрерывное снизу многозначное отображение. Возьмем точку $$x_0 \in X$$, и пусть $$A \subset F(x_0) -$$ произвольное замкнутое подмножество (например, $$A = \{y_0\}$$, где $$y_0 -$$ заданная точка из $$F(x_0)$$). Положим
 +
\begin{equation*}
 +
\widetilde{F}(x) =
 +
\begin{cases}
 +
  F(x), &x \neq x_0,\\
 +
  A, &x = x_0.
 +
\end{cases}
 +
\end{equation*}
 +
:Тогда $$\widetilde{F}$$ также является $$h$$-полунепрерывным снизу многозначным отображением.
 +
 
* Многозначное отображение $$F$$ называется ''непрерывным'', если оно одновременно $$h$$-полунепрерывно и сверху, и снизу.
 
* Многозначное отображение $$F$$ называется ''непрерывным'', если оно одновременно $$h$$-полунепрерывно и сверху, и снизу.
 +
 +
Например, пусть $$X-$$ это отрезок $$[0, \pi]$$ и $$Y = \mathbb{R}^2$$ с естественной метрикой. Тогда многозначное отображение F, которое постоянно и причем для всех x множество F(x) — это верхняя половина единичного круга, лежащая в первом и втором ортантах, является непрерывным.
 +
 
Через $$X \times Y$$ обозначим декартово произведение метрических пространств $$(X, \rho_X) \; \text{и} \; (Y, \rho_Y)$$, состоящее из множества упорядоченных пар $$(x, y), \; x\in X, \; y \in Y$$, с метрикой, определяемой соотношением
 
Через $$X \times Y$$ обозначим декартово произведение метрических пространств $$(X, \rho_X) \; \text{и} \; (Y, \rho_Y)$$, состоящее из множества упорядоченных пар $$(x, y), \; x\in X, \; y \in Y$$, с метрикой, определяемой соотношением
 
\[
 
\[
Строка 39: Строка 66:
 
\]
 
\]
 
* Многозначное отображение называется ''замкнутым'', если его график замкнут.
 
* Многозначное отображение называется ''замкнутым'', если его график замкнут.
 +
 +
Рассмотрим следующий пример. Пусть каждое из метрических пространств $$X$$ и $$Y$$ есть множество неотрицательных вещественных чисел с естественной метрикой. Рассмотрим многозначное отображение $$F$$ (на самом деле оно является однозначным, но однозначное отображение является частным случаем многозначного отображения)
 +
\begin{equation*}
 +
F(x) =
 +
\begin{cases}
 +
  \{\frac{1}{x}\}, &x > 0,\\
 +
  \{0\}, &x = 0.
 +
\end{cases}
 +
\end{equation*}
 +
График этого отображения представляет из себя объединение
 +
графика гиперболы (это замкнутое множество) и точки $$(0, 0)$$; значит, он сам замкнут.
  
 
* Многозначное отображение $$F$$ называется ''локально компактным'', если для любой точки $$x \in X$$ существует такая ее окрестность $$O(x)$$, что множество $$F(O(x))$$ предкомпактно (т.е. оно содержится в некотором компакте).
 
* Многозначное отображение $$F$$ называется ''локально компактным'', если для любой точки $$x \in X$$ существует такая ее окрестность $$O(x)$$, что множество $$F(O(x))$$ предкомпактно (т.е. оно содержится в некотором компакте).
Строка 91: Строка 129:
  
 
Кроме того, $$y_n \in F_1(x_n) \; \forall n$$, откуда в силу замкнутости $$F_1$$ имеем $$y_0 \in F_1(x_0)$$. Таким образом, доказано, что $$y_0 \in F(x_0)$$ и, значит, для указанной подпоследовательности имеет место $$\text{dist}(y_n, F(x_0)) \rightarrow 0$$, что противоречит выбору $$\varepsilon > 0$$. $$\blacksquare$$
 
Кроме того, $$y_n \in F_1(x_n) \; \forall n$$, откуда в силу замкнутости $$F_1$$ имеем $$y_0 \in F_1(x_0)$$. Таким образом, доказано, что $$y_0 \in F(x_0)$$ и, значит, для указанной подпоследовательности имеет место $$\text{dist}(y_n, F(x_0)) \rightarrow 0$$, что противоречит выбору $$\varepsilon > 0$$. $$\blacksquare$$
 
== Примеры ==
 
# Пусть $$X=Y=\mathbb{R}$$. Ставя в соответствие каждому значению $$x\in X$$ отрезок $$[-|x|,\,|x|]$$, мы получаем многозначное отображение $$F:\mathbb{R} \to \Omega (\mathbb{R} ).$$
 
# Пусть $$F -$$ секвенциально полунепрерывное ($$h$$-полунепрерывное) снизу многозначное отображение. Возьмем точку $$x_0 \in X$$, и пусть $$A \subset F(x_0) -$$ произвольное замкнутое подмножество (например, $$A = \{y_0\}$$, где $$y_0 -$$ заданная точка из $$F(x_0)$$). Положим
 
\begin{equation*}
 
\widetilde{F}(x) =
 
\begin{cases}
 
  F(x), &x \neq x_0,\\
 
  A, &x = x_0.
 
\end{cases}
 
\end{equation*}
 
:Тогда $$\widetilde{F}$$ также является секвенциально полунепрерыным ($$h$$-полнупрерывным) снизу многозначным отображением.
 
  
 
Многозначные отображения находят приложения в различных областях математики: негладком и выпуклом анализе, теории дифференциальных уравнений, теории управления, теории игр и математической экономике.
 
Многозначные отображения находят приложения в различных областях математики: негладком и выпуклом анализе, теории дифференциальных уравнений, теории управления, теории игр и математической экономике.

Версия 22:46, 30 октября 2022

Пусть $$(X, \rho_X)$$ и $$(Y, \rho_Y)$$ $$-$$ метрические пространства.

Определение

Отображение $$F$$, которое каждому $$x \in X$$ ставит в соответствие непустое замкнутое подмножество $$F(x) \subset Y$$, называется многозначным отображением.

Приведем пример многозначного отображения. Пусть $$X=Y=\mathbb{R}$$. Ставя в соответствие каждому значению $$x\in X$$ отрезок $$[-|x|,\,|x|]$$, мы получаем многозначное отображение $$F:\mathbb{R} \to \Omega (\mathbb{R} ).$$

Вспомогательные определения и утверждения

  • Многозначное отображение $$F$$ называется секвенциально полунепрерывным сверху в точке $$x_0$$ $$\in X$$, если для любой последовательности $$\{x_n\}$$, сходящейся к точке $$x_0$$, и любой последовательности $$\{y_n\}$$, для которой $$y_n \in F(x_n) \; \forall n$$, имеет место

\[\text{dist}(y_n, F(x_0)) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty, \]

где $$\text{dist}(y_n, F(x_0)) = \inf\{\rho(y, x), y \in y_n, x \in F(x_n)\}$$.

Если многозначное отображение секвенциально полунепрерывно сверху в каждой точке, то оно называется секвенциально полунепрерывным сверху.

  • Многозначное отображение $$F$$ называется секвенциально полунепрерывным снизу в точке $$x_0$$ $$\in X$$, если для любой последовательности $$\{x_n\}$$, сходящейся к точке $$x_0$$, и любого $$y_0 \in F(x_0)$$ существует последовательность $$\{y_n\}$$ такая, что $$y_n \in F(x_n) \; \forall n \; \text{и} \; y_n \rightarrow y_0, n \rightarrow \infty$$.

Если многозначное отображение секвенциально полунепрерывно снизу в каждой точке, то оно называется секвенциально полунепрерывным снизу, что равносильно тому, что \[ \text{dist}(y_0, F(x)) \rightarrow 0, x \rightarrow x_0, \; \forall y_0 \in F(x_0). \]

В качестве примера рассмотрим $$X-$$ отрезок $$[0, 2]$$, $$Y-$$ отрезок $$[0, 1]$$ с естественной метрикой. Рассмотрим многозначные отображения $$F_1, F_2$$:
\[ \begin{aligned} F_1(x) = \begin{cases} [0, 1]&x \neq 1;\\ \{0\}, &x = 1; \end{cases} \end{aligned} \qquad \begin{aligned} F_2(x) = \begin{cases} \{0\}, &x \in [0, 1);\\ \{1\}, &x \in (1, 2);\\ [0, 1], &x = 1. \end{cases} \end{aligned} \]

Многозначное отображение $$F_1$$ секвенциально полунепрерывно снизу, но не является секвенциально полунепрерывным сверху в точке $$x = 1$$, а многозначное отображение $$F_2$$, наоборот, секвенциально полунепрерывно сверху, но не является секвенциально полунепрерывным снизу в точке $$x = 1$$.

  • Многозначное отображение $$F$$ называется $$h$$-полунепрерывным сверху в точке $$x_0$$ $$\in X$$, если для произвольного $$\varepsilon > 0$$ существует такое $$\delta > 0$$, что

\[ F(x) \subset O^Y(F(x_0), \varepsilon) \; \forall x \in O^X(x_0, \delta). \] Если многозначное отображение $$h$$-полунепрерывно сверху в каждой точке, то оно называется $$h$$-полунепрерывным сверху.

  • Многозначное отображение $$F$$ называется $$h$$-полунепрерывным снизу в точке $$x_0$$ $$\in X$$, если для произвольного $$\varepsilon > 0$$ существует такое $$\delta > 0$$, что

\[ O^Y(F(x), \varepsilon) \supset F(x_0) \; \forall x \in O^X(x_0, \delta). \] Если многозначное отображение $$h$$-полунепрерывно снизу в каждой точке, то оно называется $$h$$-полунепрерывным снизу.

Приведем пример. Пусть $$F -$$ $$h$$-полунепрерывное снизу многозначное отображение. Возьмем точку $$x_0 \in X$$, и пусть $$A \subset F(x_0) -$$ произвольное замкнутое подмножество (например, $$A = \{y_0\}$$, где $$y_0 -$$ заданная точка из $$F(x_0)$$). Положим \begin{equation*} \widetilde{F}(x) = \begin{cases} F(x), &x \neq x_0,\\ A, &x = x_0. \end{cases} \end{equation*}

Тогда $$\widetilde{F}$$ также является $$h$$-полунепрерывным снизу многозначным отображением.
  • Многозначное отображение $$F$$ называется непрерывным, если оно одновременно $$h$$-полунепрерывно и сверху, и снизу.

Например, пусть $$X-$$ это отрезок $$[0, \pi]$$ и $$Y = \mathbb{R}^2$$ с естественной метрикой. Тогда многозначное отображение F, которое постоянно и причем для всех x множество F(x) — это верхняя половина единичного круга, лежащая в первом и втором ортантах, является непрерывным.

Через $$X \times Y$$ обозначим декартово произведение метрических пространств $$(X, \rho_X) \; \text{и} \; (Y, \rho_Y)$$, состоящее из множества упорядоченных пар $$(x, y), \; x\in X, \; y \in Y$$, с метрикой, определяемой соотношением \[ \rho((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \rho_X(x_1, x_2) + \rho_Y(y_1, y_2). \] Для сходимости в метрическом пространстве $$X \times Y$$ справедливо следующее: \[ (x_n, y_n) \rightarrow (x_0, y_0) \Leftrightarrow x_n \rightarrow x_0, \; y_n \rightarrow y_0, \; n \rightarrow \infty. \]

  • Графиком многозначного отображения $$F$$ называется множество

\[ \text{gph}F = \{(x, y) \in X \times Y: \; y \in F(x)\}. \]

  • Многозначное отображение называется замкнутым, если его график замкнут.

Рассмотрим следующий пример. Пусть каждое из метрических пространств $$X$$ и $$Y$$ есть множество неотрицательных вещественных чисел с естественной метрикой. Рассмотрим многозначное отображение $$F$$ (на самом деле оно является однозначным, но однозначное отображение является частным случаем многозначного отображения) \begin{equation*} F(x) = \begin{cases} \{\frac{1}{x}\}, &x > 0,\\ \{0\}, &x = 0. \end{cases} \end{equation*} График этого отображения представляет из себя объединение графика гиперболы (это замкнутое множество) и точки $$(0, 0)$$; значит, он сам замкнут.

  • Многозначное отображение $$F$$ называется локально компактным, если для любой точки $$x \in X$$ существует такая ее окрестность $$O(x)$$, что множество $$F(O(x))$$ предкомпактно (т.е. оно содержится в некотором компакте).

Рассмотрим определения полунепрерывности сверху/снизу в точке, когда $$X \; \text{и} \; Y$$ являются лишь топологическими пространствами.

  • Многозначное отображение $$F$$ называется полунепрерывным сверху в точке $$x_0 \in X$$, если для любой окрестности $$O^Y$$ множества $$F(x_0)$$ существует такая окрестность $$O^X$$ точки $$x_0, \; \text{что} \; F(O^X) \subset O^Y$$.
  • Многозначное отображение $$F$$ называется полунепрерывным снизу в точке $$x_0 \in X$$, если для любого открытого множества $$O^Y \subset Y$$ такого, что $$O^Y \cap F(x_0) \neq \varnothing$$ существует окрестность $$O^X$$ точки $$x_0$$ такая, что $$F(x) \cap O^Y \neq \varnothing$$ для любого $$x \in O^X$$.

Свойства

Теорема

Если многозначное отображение $$F$$ секвенциально полунепрерывно сверху, то оно замкнуто.

Доказательство. Пусть последовательность $$\{(x_n, y_n)\}$$ лежит в графике $$\text{gph}F$$ и сходится к точке $$(x_0, y_0)$$. Достаточно доказать, что $$(x_0, y_0) \in \text{gph}F$$. Действительно, $$y_n \in F(x_n) \; \forall n$$ и $$x_n \rightarrow x_0, y_n \rightarrow y_0, n \rightarrow \infty.$$ Поэтому, в силу секвенциальной полунепрерывности сверху отображения $$F$$ в точке $$x_0$$ имеем $$\text{dist}(y_n, F(x_0)) \rightarrow 0.$$ Отсюда в силу замкнутости множества $$F(x_0)$$ получаем, что $$y_0 \in F(x_0)$$ и, значит, $$(x_0, y_0) \in \text{gph}F$$. $$\blacksquare$$

Теорема

Пусть пространство $$Y$$ компактно. Тогда многозначное отображение секвенциально полунепрерывно сверху тогда и только тогда, когда оно замкнуто.

Доказательство. В силу предыдущей теоремы достаточно доказать, что если многозначное отображение $$F$$ замкнуто, то оно секвенциально полунепрерывно сверху в каждой точке $$x_0 \in X$$. Пусть последовательность $$\{x_n\}$$ сходится к точке $$x_0$$ и для последовательности $$\{y_n\}$$ имеет место $$y_n \in F(x_n) \; \forall n$$. Докажем, что тогда $$\text{dist}(y_n, F(x_0)) \rightarrow 0, n\rightarrow \infty$$.

Будем действовать от противного. Пусть существует такое $$\varepsilon > 0$$, что после перехода от последовательности $$\{y_n\}$$ к ее подпоследовательности выполняется $$\text{dist}(y_n, F(x_0)) \geqslant \varepsilon \; \forall n.$$ В силу компактности пространства $$Y$$, переходя еще раз к подпоследовательности, будем считать, что $$y_n \rightarrow y_0$$ для некоторого $$y_0 \in Y$$. Тогда $$(x_n, y_n) \rightarrow (x_0, y_0) \; \text{и} \; (x_n, y_n) \in \text{gph}F \; \forall n.$$ Поэтому $$(x_0, y_0) \in \text{gph}F$$ в силу замкнутости множества $$\text{gph}F$$ и, значит, \[ y_0 \in F(x_0) \Rightarrow \text{dist}(y_n, F(x_0)) \leqslant \rho_Y(y_n, y_0), \] откуда $$\text{dist}(y_n, F(x_0)) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty.$$ Полученное противоречие с установленным выше неравенством завершает доказательство. $$\blacksquare$$

Теорема

Пусть многозначное отображение $$F$$ замкнуто и локально компактно. Тогда оно секвенциально полунепрерывно сверху.

Доказательство этого утверждения повторяет доказательство теоремы выше.

Пусть заданы многозначные отображения $$F_j, j \in J$$, где $$J$$ некоторое множество индексов. Определим новые многозначные отображения $$-$$ объединение и пересечение исходных отображений $$-$$ соотношениями \[ \Big(\bigcup_{j \in J}F_{j}\Big)(x) = \bigcup_{j \in J}F_{j}(x), \; \Big(\bigcap_{j \in J}F_{j}\Big)(x) = \bigcap_{j \in J}F_{j}(x) \] При этом предполагается, что в формуле для объединения множество индексов $$J$$ конечно и второе многозначное отображение корректно определено, т.е. что \[ \bigcap_{j \in J}F_{j}(x) \neq \varnothing \; \forall x. \]

Теорема

Пусть заданы два многозначных отображения: $$F_1 \; \text{и} \; F_2$$, причем $$F_1$$ замкнуто, а $$F_2$$ полунепрерывно сверху и компактнозначно. Тогда если их пересечение $$F = F_1 \cap F_2$$ корректно определено, то оно полунепрерывно сверху.

Доказательство. Возьмем произвольную точку $$x_0 \in X$$ и докажем, что многозначное отображение $$F$$ в ней секвенциально полунепрерывно сверху. Пусть последовательность $$\{x_n\}$$ сходится к точке $$x_0$$ и $$y_n \in F(x_n) \; \forall n.$$ Докажем, что $$\text{dist}(y_n, F(x_0)) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty$$. Предположим противное. Тогда существует такое $$\varepsilon > 0$$, что после перехода к подпоследовательности, имеем $$\text{dist}(y_n, F(x_0)) \geqslant \varepsilon \; \forall n.$$

Но $$y_n \in F_2(x_n) \; \forall n \; \text{и, значит,} \; \text{dist}(y_n, F_2(x_0)) \rightarrow 0$$ в силу секвенциальной полунепрерывности сверху $$F_2$$. Докажем существование такого $$y_0 \in F_2(x_0)$$, что после перехода к подпоследовательности имеет место $$y_n \rightarrow y_0$$. Действительно, в силу доказанного, для каждого $$n$$ существует такое $$\widetilde{y_n} \in F_2(x_0)$$, что $$\rho_Y(\widetilde{y_n}, y_n) \rightarrow 0.$$ В силу компактности множества $$F_2(x_0)$$, переходя к подпоследовательности, получаем, что $$\widetilde{y_n} \rightarrow y_0$$ для некоторого $$y_0 \in F_2(x_0)$$. Отсюда с помощью неравенства треугольника получаем $$y_n \rightarrow y_0$$, что доказывает треубемое.

Кроме того, $$y_n \in F_1(x_n) \; \forall n$$, откуда в силу замкнутости $$F_1$$ имеем $$y_0 \in F_1(x_0)$$. Таким образом, доказано, что $$y_0 \in F(x_0)$$ и, значит, для указанной подпоследовательности имеет место $$\text{dist}(y_n, F(x_0)) \rightarrow 0$$, что противоречит выбору $$\varepsilon > 0$$. $$\blacksquare$$

Многозначные отображения находят приложения в различных областях математики: негладком и выпуклом анализе, теории дифференциальных уравнений, теории управления, теории игр и математической экономике.

Список литературы

Арутюнов А. В. Лекции по выпуклому и многозначному анализу. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014