Достаточные условия существования оптимального управления

Теорема о существовании оптимального управления

Пусть $$\dot x = f(t, x(t), u(t)),\ u(t) \in \mathcal{P}$$, где $$f$$ удовлетворяет описанию, обозначенному в итоговых условиях на функцию $$f$$ \begin{gather*} \varphi_0(e) \rightarrow \infty\\ \varphi_1(e) = \varphi_2(e) = \ldots = \varphi_k(e) = 0 \end{gather*} Пусть также:

• Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ не пусто, то есть $$S^1 = \{(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot)) \in S | \varphi(e) = 0,\ e = e(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot))\} \neq \emptyset$$
• $$\mathcal{P} \in \mathbb{R}^m$$
• $$F(t,\ x) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{f(t,\ x,\ u)\} \in conv \mathbb{R}^n$$