Задача быстродействия "из множества во множество"

Постановка задачи

Задача быстродействия - задача перевода системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, положение за минимальное время. Пусть система определяется условиями: \begin{cases} \dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \\ x(t_0) \in \mathcal{X}^0, x(t_1) \in \mathcal{X}^1, \\ u(t) \in \mathcal{P}(t) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\ \mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\ t_0 - \text{фиксировано}, \\ t_1 - t_0 \rightarrow \underset{u(\cdot)}{inf}, \end{cases} где \( A(t), B(t), f(t) \) - непрерывны, а \( \mathcal{P} \) непрерывно как многозначное отображение (это требование гарантирует нам, что для любого \( l: \rho(l\vert\mathcal{P}(\tau))\) по \(\tau\) непрерывна\(^1\)).

\(^1\)В частности, при \(m=1\) множество \(\mathcal{P}\) выглядит как \(\mathcal{P}(\tau) = [a(\tau), b(\tau)]\); неперерывность многозначного отображения означает, что \(a(\tau), b(\tau)\) - непрерывны.

Множества достижимости и разрешимости

Множеством достижимости в момент времени \(t\) будем называть \(\mathcal{X}[t] = \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^0 \in \mathcal{X}^0: x(t, t_0, x^0| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^0 \in \mathcal{X}^0}{\cup}\mathcal{X}(t, t_0, x^0)\) Множеством разрешимости в момент времени \(t\) будем называть \(\mathcal{W}[t] = \mathcal{W}(t, t_1, \mathcal{X}^1) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^1 \in \mathcal{X}^1: x(t, t_1, x^1| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^1 \in \mathcal{X}^1}{\cup}\mathcal{W}(t, t_1, x^1)\)