Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

Предположения

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки. Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды. \begin{gather*} \varepsilon_{1} = \varepsilon (a, Q_{1}); \\ \varepsilon_{2} = \varepsilon (a, Q_{2}); \\ \end{gather*}

Леммы

Лемма 1

(a) Эллипсоид \( \varepsilon = \varepsilon(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0\) верно определен, а его внешняя оценка суммы \(\varepsilon_1 + \varepsilon_2\) суть есть \[ \varepsilon_1 + \varepsilon_2 \subseteq \varepsilon (a_1 + a_2,Q(p)) \] для любого \(p > 0 \) \[\] (b) По данному вектору \( l \in R^n, \|l\| = 1\) выражение \[ p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}} \] определяет параметр \(p \in \Pi^{+}\), такой что \[ \rho(l|\varepsilon (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\varepsilon(a_1,Q_1) + \varepsilon(a_2,Q_2))\] И обратно, по данному параметру \(p \in \Pi^{+}\), существует вектор \( l \in R^n, \|l\| = 1\), удовлетворяющий вышеуказанные равенства.

Лемма 2

Зафиксируем вектор \( l \in R^n, \|l\| = 1\) и предположим, что для некоторого \( m \in [0,n]\) имеем \[ l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\ l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n} \] Помимо этого будем считать, что \varepsilon_1 = \varepsilon(0,Q_1), \varepsilon_2 = \varepsilon(0,Q_2), а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно: \[ \varepsilon_1 + \varepsilon_2 \subseteq \varepsilon(0, C) \subseteq \varepsilon(0, Q), \] а также \[\rho(l|\varepsilon(0, Q)) = \rho(l|\varepsilon_1 + \varepsilon_2) \] Тогда \[ c_{ij} \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n} \]