Геометрическая разность двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

В этой статье будут рассмотрены геометрическая разность двух эллипсоидов и ее внутренние и внешние оценки.

Определение

Разностью двух эллипсоидов будем называть $$\varepsilon_{1} \dot{—} \varepsilon_{2}$$ \begin{gather*} \rho (l | \varepsilon_{1} \dot{—} \varepsilon_{2}) = conv( \rho(l | \varepsilon_{1}) - \rho (l | \varepsilon_{2} )) \end{gather*}

Внутренние эллипсоидальные оценки

Будем оценивать разность эллипсоидами. \begin{gather*} \varepsilon_{1} = \varepsilon (0, Q_{1}); \\ \varepsilon_{2} = \varepsilon (0, Q_{2}); \\ \varepsilon_{-} \displaystyle = \varepsilon (0, Q_{-}), \, где \, Q_{-} = (p_{1} - p_{1}) ( \frac{Q_{1}}{p_{1}} - \frac{Q_{2}}{p_{2}} ); \end{gather*} Оценим опорной функцией: \begin{gather*} \rho^{2} ( l | \varepsilon_{-} ) \displaystyle = \langle l, Q_{1}l \rangle + \langle l, Q_{2}l \rangle - \frac{p_{2}}{p_{1}} \langle l, Q_{1}l \rangle - \frac{p_{1}}{p_{2}} \langle l, Q_{2}l \rangle \leq \\ \displaystyle \leq \langle l, Q_{1}l \rangle + \langle l, Q_{2}l \rangle - 2 \sqrt{ \frac{p_{2}}{p_{1}} \langle l, Q_{1}l \rangle \frac{p_{1}}{p_{2}} \langle l, Q_{2}l \rangle } = \\ = \displaystyle \langle l, Q_{1}l \rangle - 2 \langle l, Q_{1}l \rangle^{0.5} \langle l, Q_{2}l \rangle^{0.5} = \\ \displaystyle = [ \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ]^{2} \end{gather*} равенство достигается при \begin{gather*} p_{1} = \langle l, Q_{1}l \rangle^{0.5}; \\ p_{2} = \langle l, Q_{2}l \rangle^{0.5}. \end{gather*}. Необходимо, чтобы $$Q_{-} \geqslant 0 $$. Это достигается при \begin{gather*} \begin{cases} \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) \geqslant 0, ( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) = conv( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ). \end{cases} \end{gather*} При этом если известно, что $$Q_{-} \geqslant 0 $$, то \begin{gather*} \rho ( l | \varepsilon_{-} ) \geqslant \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ). \end{gather*} Из этого получаем, что $$ \rho ( l | \varepsilon_{1} \dot{-} \varepsilon_{2} ) $$ - максимальная выпуклая функция, не превосходящая $$ conv ( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) $$. Применим овыпукление к предыдущему неравенству:
I способ \begin{gather*} conv( \rho ( l | \varepsilon_{-} ) \geqslant \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) \\ conv( \rho ( l | \varepsilon_{-} ) ) \geqslant conv( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) \Rightarrow \\ \text{ \{ так как} \rho ( l | \varepsilon_{-} ) \text{выпуклая функция \} } \Rightarrow \\ \rho ( l | \varepsilon_{-} ) \geqslant conv( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) \end{gather*} II способ \begin{gather*} \rho ( l | \varepsilon_{-} ) - \text{выпуклая функция} \geqslant conv( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) \\ \text{Выбираем эллипсоид} \rho ( l | \varepsilon_{-} ) = \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ), \\ \text{но тогда обязательно возникнет точка, которая вылезет за границу множества} \end{gather*} но тогда обязательно возникнет точка, которая вылезет за границу множества - такого не может быть, так как в этом случае