Эллипсоид и его основные свойства

Данная глава посвящена рассмотрению эллипсоида и его основных свойств.

Определения

Эллипсоид

Эллипсоидом $$\mathcal{E} (q, Q)$$ с центром в точке $$q \in \mathbb{R}^n$$ и матрицей $$Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$$, такой, что $$Q' = Q > 0$$, будем называть множество точек: \begin{equation} \mathcal{E} (q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n | \langle x - q, Q^{-1}(x-q) \rangle \leqslant 1 \}. \end{equation}

Опорная функция

Опорной функцией выпуклого замкнутого множества $$A$$ в направлении $$l \neq 0$$ называется функция: \begin{equation} \rho(l|A) = \sup\limits_{x \in A} \langle l, x \rangle. \end{equation}

$$\rho(l|\mathcal{E}) = \langle l, q \rangle +\sqrt{\langle l, Ql \rangle} \leqslant 1$$