Эллипсоид и его основные свойства: различия между версиями
Artem (обсуждение | вклад) |
Artem (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 7: | Строка 7: | ||
\mathcal{E} (q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n | \langle x - q, Q^{-1}(x-q) \rangle \leqslant 1 \}. | \mathcal{E} (q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n | \langle x - q, Q^{-1}(x-q) \rangle \leqslant 1 \}. | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
| − | + | ||
===Опорная функция=== | ===Опорная функция=== | ||
''Опорной функцией выпуклого замкнутого множества $$A$$ в направлении $$l \neq 0$$ называется функция: | ''Опорной функцией выпуклого замкнутого множества $$A$$ в направлении $$l \neq 0$$ называется функция: | ||
| Строка 13: | Строка 13: | ||
\rho(l|A) = \sup\limits_{x \in A} \langle l, x \rangle. | \rho(l|A) = \sup\limits_{x \in A} \langle l, x \rangle. | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
| − | + | ||
$$\rho(l|\mathcal{E}) = \langle l, q \rangle +\sqrt{\langle l, Ql \rangle} \leqslant 1$$ | $$\rho(l|\mathcal{E}) = \langle l, q \rangle +\sqrt{\langle l, Ql \rangle} \leqslant 1$$ | ||
==Основная часть== | ==Основная часть== | ||
| Строка 25: | Строка 25: | ||
x^*(l) = q + \frac{Ql}{\sqrt{\langle l, Ql \rangle}}. | x^*(l) = q + \frac{Ql}{\sqrt{\langle l, Ql \rangle}}. | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
| − | |||
| − | |||
Версия 20:59, 27 декабря 2022
Данная глава посвящена рассмотрению эллипсоида и его основных свойств.
Определения
Эллипсоид
Эллипсоидом $$\mathcal{E} (q, Q)$$ с центром в точке $$q \in \mathbb{R}^n$$ и матрицей $$Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$$, такой, что $$Q' = Q > 0$$, будем называть множество точек: \begin{equation} \mathcal{E} (q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n | \langle x - q, Q^{-1}(x-q) \rangle \leqslant 1 \}. \end{equation}
Опорная функция
Опорной функцией выпуклого замкнутого множества $$A$$ в направлении $$l \neq 0$$ называется функция: \begin{equation} \rho(l|A) = \sup\limits_{x \in A} \langle l, x \rangle. \end{equation}
$$\rho(l|\mathcal{E}) = \langle l, q \rangle +\sqrt{\langle l, Ql \rangle} \leqslant 1$$
Основная часть
Утверждение
Опорной функцией эллипсоида является функция: \begin{equation} \rho(l|\mathcal{E}) = \langle l, q \rangle +\sqrt{\langle l, Ql \rangle}, \end{equation} а опорный вектор в направлении $$l$$ равен: \begin{equation} x^*(l) = q + \frac{Ql}{\sqrt{\langle l, Ql \rangle}}. \end{equation}
