Фазовый объём. Теорема Лиувилля

Определения

Определение 1.

Пусть рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений: \begin{gather*} \frac{dx_i}{dt}=f_i(\vec{x}),\quad \text{где}\quad \vec{x}\in \mathbb{R}^n\quad \text{и}\quad \vec{f}\in \mathbb{R}^n;\\ \vec{x}(0)=\vec{x}_0\in D_0. \end{gather*} Введём обозначение для множества решений системы в фиксированный момент времени: \begin{gather*} D_t=\left\{\,\vec{x}(\,t;\vec{x}_0),\quad \vec{x}_0\in D_0\right\}. \end{gather*} Подсчитаем объём множества $$D_t,$$ воспользовавшись определением кратного интеграла. \begin{gather*} %V_t=\underbrace{\int...\int}_{D_t} dx_1\,dx_2...dx_n. V_t=\int\limits_{D_t} dx_1 dx_2...dx_n.\\ \end{gather*} Это и есть определение фазового объёма множества $$D_t.$$
Определение 2.

Величина $$\frac{dv_t}{dt}$$ называется изменением фазового объёма.

Вспомогательные леммы

Лемма 1. (Уравнение в вариациях)

$$\quad$$ Пусть задана система обыкновенных дифференциальных уравнений: \begin{equation} \label{1} \frac{d\vec{x}}{dt}=\vec{f}(\vec{x}),\quad \text{где}\quad \vec{x}\in \mathbb{R}^n\quad \text{и}\quad \vec{f}\in \mathbb{R}^n; \end{equation}

\begin{equation} \vec{x}(0)=\vec{y}\in D_0. \end{equation}

Считаем, что $$\vec{x}(t;\vec{y})$$ - решение системы (1-2) является дважды непрерывно дифференцируемой вектор-функцией в некоторой области, в которой и происходит рассмотрение леммы.

Составим следующие матрицы:

\begin{gather*} &\frac{\partial \vec{x}(t;\vec{y})}{\partial \vec{y}}=\bigg(\frac{\partial x_i}{\partial y_j}\bigg)_{i,j=\overline{1,n}}.\\ &\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{x}}=\bigg(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\bigg)_{i,j=\overline{1,n}}. \end{gather*} $$\frac{\partial x_k}{\partial y_j}$$- скорость изменения координаты $$x_k$$ в зависимости от начального значения $$y_j.$$

$$\frac{\partial\vec{x}}{\partial\vec{y}}$$- матрица чувствительности начальных данных.

Тогда справедливо матричное равенство (уравнение в вариациях): \begin{equation} \frac{d}{dt}\bigg(\frac{\partial \vec{x}(t;\vec{y})}{\partial \vec{y}}\bigg)=\frac{\partial \vec{f}}{\partial\vec{x}}\cdot\bigg(\frac{\partial \vec{x}(t;\vec{y})}{\partial \vec{y}}\bigg). \end{equation} Доказательство.

\begin{gather*} (1)\Leftrightarrow \frac{dx_k(t;\vec{y})}{dt}=f_k\big(\vec{x}(t;\vec{y})\big) \quad \bigg| \cdot \frac{\partial}{\partial y_j}\\ \frac{\partial}{\partial y_j}\frac{dx_k(t;\vec{y})}{dt}=\left\{\text{Переставим операции местами, в силу гладкости}\right\}=\frac{d}{dt}\frac{\partial x_k(t;\vec{y})}{\partial y_j}=\frac{\partial}{\partial y_j}\Big(f_k\big(\vec{x}(t;\vec{y})\big)\Big)=\\ =\sum\limits_{s=1}^n \frac{\partial f_k}{\partial x_s} \cdot \frac{\partial x_s}{\partial y_j}=\bigg(\frac{\partial f_k}{\partial x_1},...,\frac{\partial f_k}{\partial x_n}\bigg)\cdot\bigg(\frac{\partial x_1}{\partial y_j},...,\frac{\partial x_n}{\partial y_j}\bigg)^T=\frac{\partial f_k}{\partial\vec{x}}\cdot\bigg(\frac{\partial \vec{x}(t;\vec{y})}{\partial y_j}\bigg). \end{gather*}

$$\blacksquare$$

Лемма 2. (Лиувилля, о дифференцировании определителя)

$$\quad$$ Пусть задана матрица $$A=\big(a_{ij}(t)\big)\bigg|_{i,j=\overline{1,n}}.$$

По определению след матрицы $$A$$ считается, как $$\,Tr A=\sum\limits_{i=1}^n a_{ii}.$$

Тогда справедливо следующее равенство: \begin{gather*} \frac{d}{dt}|A(t)|=|A(t)|\cdot Tr(A^{'}A^{-1}(t)), \text{ где } A^{'}(t)=\big(a^{'}_{ij}(t)\big)\bigg|_{i,j=\overline{1,n}}. \end{gather*}

Доказательство.

Рекомендуется быть ознакомленными с свойствами $$\bar{o}$$-малого.

По формуле Тейлора имеем: \begin{gather*} a_{ij}(t+\Delta t)=a_{ij}(t)+a^{'}_{ij}(t)\Delta t+\bar{o}(\Delta t).\\ |A(t+\Delta t)|=|A(t)+A^{'}(t)\Delta t+\bar{o}(\Delta t)|=\bigg|\big(E+A^{'}(t)A^{-1}(t)\Delta t+\bar{o}(\Delta t)\big)A(t)\bigg|=\\ =\big|A(t)\big|\cdot\big|E+A^{'}(t)A^{-1}(t)\Delta t+\bar{o}(\Delta t)\big|. \end{gather*}

\begin{gather*} \big|E+\underbrace{A^{'}(t)A^{-1}(t)}_{b_{ij}}\Delta t+\bar{o}(\Delta t)\big|= \begin{vmatrix} 1+b_{11}\Delta t& b_{12}\Delta t& ... & b_{1n}\Delta t\\ b_{21}\Delta t& 1+b_{22}\Delta t& ... & b_{2n}\Delta t\\ ...&...&...&...\\ b_{n1}\Delta t& b_{n2}\Delta t& ... & 1+b_{nn}\Delta t\\ \end{vmatrix}+\bar{o}(\Delta t) =1+\Delta t\cdot Tr(A^{'}A^{-1})+\bar{o}(\Delta t). \end{gather*}

\begin{gather*} \frac{\big|A(t+\Delta t)\big|-\big|A(t)\big|}{\Delta t}=\frac{\big|A(t)\big|\cdot \big(1+\Delta t \cdot Tr(A^{'}A^{-1})+\bar{o}(\Delta t)-1\big)}{\Delta t}=|A(t)|\cdot \big(Tr(A^{'}A^{-1}(t))+\bar{o}(1)\big)\\ \lim\limits_{\Delta t\to 0} \frac{\big|A(t+\Delta t)\big|-\big|A(t)\big|}{\Delta t}=\frac{d}{dt}|A(t)|=|A(t)|\cdot Tr(A^{'}A^{-1}(t)). \end{gather*}

$$\blacksquare$$

Теорема

Теорема (Лиувилля об изменении фазового объёма)

Список литературы

1. Федорок М. В. "Обыкновенные дифференциальные уравнения", М.: Наука, 1985.
2. Братусь А.С., Новожилов A.C., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
3. Абрамова В.В. "Лекции динамическим системам и биоматематике", 2023.