Метрическое пространство

Определение

Метрическим пространством M называется множество элементов $$x, y,\dots,$$ в котором любой паре элементов $$x, y$$ поставлено в соответствие некоторое число $$d(x,y)$$, называемое метрикой или расстоянием, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. $$d(x,y) \geqslant 0$$, причем $$d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y~~\forall x,y \in M$$.
2. $$d(x,y) = d(y,x)~~\forall x,y \in M$$.
3. $$d(x,y) \leqslant d(x,z) + d(z,y)~~\forall x,y,z \in M$$.

Вспомогательные определения и утверждения

Примеры метрик:

• • $$M$$ = $$\mathbb{R},~~d(x,y) = |x-y|$$.
  • $$M$$ = $$\mathbb{R^n},~~d(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2+\dots+(x_n-y_n)^2}$$.
  • $$M$$ = $$\mathbb{C},~~z=x+iy,~~d(z_{1},z_{2}) = |z_{1}-z_{2}|$$.
  • $$M$$ = $$C[a,b],~~d(f,g) = \max \limits_{x \in [a,b]}|f(x) - g(x)|$$.
  • $$M$$ = $$L_{p}(X,\mu),~~p \geq 1, ~~d(f,g) = ||f-g||_{L_{p}}=(\int_{X}{|f(x)-g(x)|^{p}d\mu} )^{\frac{1}{p}}$$.
  • $$M$$ = $$l_{p}=\{x=(x_{1},x_{2},...):\sum_{k=1}^{\infty }{|x_{k}|^{p} < \infty} \},~~p \geq 1, ~~d(x,y) = ||x - y||_{l_{p}} = \sqrt[p]{\sum_{k=1}^{\infty }|x_{k}-y_{k}|^{p} } $$.

Лемма 1. Если $$d$$ - метрика, то $$\dfrac{d}{1+d}$$ - тоже метрика.

Доказательство:

Достаточно доказать неравенство треугольника. Пусть $$d = d(x,y), d_1 = d(x,z), d_2 = d(z,y)$$, тогда неравенство \[ \dfrac{d}{1+d} \leqslant \dfrac{d_1}{1+d_1} + \dfrac{d_2}{1+d_2} \] следует из $$d \leqslant d_1 + d_2$$. $$\blacksquare$$

Последовательность $$\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$$, где все $$x_{n} \in M$$, называется сходящейся к $$x \in M$$, если $$\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_{n}, x\right)=0$$.

Открытым шаром с центром в точка $$x \in M$$ радиуса $$R>0$$ называется множество $$B(x,R) = \{y \in M| d(x,y) < R\}$$.

Множество $$G \subset M$$ называется открытым, если $$\forall x \in G \quad \exists B(x, R) \subset G$$.

Точка $$x \in M$$ называется предельной для множества $$F$$, если $$\{B(x, R) \backslash x\} \cap F \neq \varnothing~~\forall R>0$$.

Множество предельных точек множества $$F$$ обозначим через $$F^{\prime}$$.

Замыканием множества $$E$$ называется множество $$\bar{F}=F \cup F^{\prime}$$.

Множество $$F$$ называется замкнутым, если $$\bar{F}=F$$.

Теорема 1. Если $$G$$ - открытое, то $$M \backslash G$$ - замкнутое; если $$F$$ - замкнутое, то $$M \backslash F-$$ открытое.

Доказательство:

Первое - от противного: пусть $$x \in(M \backslash G)^{\prime}$$, но $$x \notin M \backslash G$$, тогда $$x \in G$$. Следовательно, $$\exists B(x, R) \subset G$$. Но тогда $$B(x, R) \cap(M \backslash G)=\varnothing$$, что означает, что точка $$x$$ не является предельной для множества $$M \backslash G$$ - противоречие.

Второе - от противного: пусть $$x \in M \backslash F$$, но нет ни одного шара с центром в точке $$x$$, содержащегося в $$M \backslash F$$, тогда $$\forall R>0\{B(x, R) \backslash x\} \cap F \neq \varnothing$$. Таким образом, точка $$x$$ является предельной для множества $$F$$, но не принадлежит ему - противоречие. $$\blacksquare$$

Теорема Банаха–Штейнгауза

Теорема 2. Пусть $$(X, d)$$ - это полное метрическое пространство и $$\left\{B_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty}$$ - семейство замкнутых шаров, причём при всех $$n \in \mathbb{N}$$ $$B_{n+1} \subset \bar{B}_{n}$$ и радиусы шаров $$r_{n}$$ стремятся к $$0$$, тогда

\[ \bigcap_{n \in \mathbb{N}} B_{n}=\{a\} \]

где а - некоторая точка из $$X$$.

Доказательство:

Действительно, возьмём последовательность $$\left\{a_{n}\right\}$$ такую, что $$a_{n} \in B_{n}$$. Поскольку шары вложены и их радиусы стремятся к нулю, то эта последовательность $$\left\{a_{n}\right\}$$ фундаментальна.

Это следует из того, что для любого $$\varepsilon>0$$ найдётся такое натуральное $$N \in \mathbb{N}$$, что при $$n, m>N$$

\[ a_{n}, a_{m} \in B_{\min \{n, m\}}, \]

а радиус шара $$B_{\min \{n, m\}}$$ стремится к нулю при $$N \rightarrow+\infty$$.

Следовательно, в силу полноты $$(X, d)$$, последовательность $$\left\{a_{n}\right\}$$ сходится к точке $$a$$, которая, в силу замкнутости шаров $$B_{n}$$, принадлежит их пересечению.

Докажем, что пересечение этих шаров состоит в точности из одной точки. Для этого заметим, что расстояние между двумя точками $$x, y$$, лежащими в одном замкнутом шаре радиуса $$r$$, не превосходит $$2 r$$.

Действительно, если $$o-$$ центр шара, имеем

\[ d(x, y) \leqslant d(x, o)+d(o, y) \leqslant 2 r. \]

Следовательно, если пересечение всех шаров содержит точки $$a, b$$, то

\[ d(a, b) \leqslant 2 r_{n} \rightarrow 0, \]

откуда $$d(a, b)=0$$ и $$a=b$$.$$\blacksquare$$

Полнота метрического пространства

Определение: Метрическое пространство $$M$$ называется полным, если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства является сходящейся. (То есть выполняется критерий Коши.)

Замечание 1: Последовательность точек $$\left\{x_n\right\}$$ в метрическом пространстве $$M$$ называется фундаментальной, если $$ \forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n, m>N \Rightarrow d\left(x_n, x_m\right)<\varepsilon . $$

Замечание 2: Последовательность $$\left\{x_n\right\}$$ называется сходящейся к пределу $$x \in M$$, если $$ \forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n>N d\left(x_n, x\right)<\varepsilon . $$ Обозначение: $$\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x$$.

Замечание 3: Из сходимости последовательности (существования предела) всегда следует её фундаментальность: $$ d\left(x_n, x_m\right) \leqslant d\left(x_n, x\right)+d\left(x, x_m\right)<\varepsilon, \text { при } n, m>N(\varepsilon / 2) . $$

Примеры 1: Рассмотрим пространство изолированных точек $$M$$ с дискретной метрикой: $$ d(x,y) = \left\{\begin{matrix} 1&x \ne y \\ 0&x =y \end{matrix}\right. $$

В этом пространстве любая фундаментальная последовательность является стационарной, начиная с некоторого номера: $$x_n \equiv$$ const, $$\forall n \geqslant N$$. Следовательно, она является сходящейся, и пространство является полным.

Примеры 2: Пространства $$\mathbb{R}, \mathbb{R}^n$$ являются полными. Это доказано в курсе математического анализа (критерий Коши сходимости последовательности).

Примеры 3: пространства $$C[a, b]$$ являются полными:

Пусть $$\left\{x_n(t)\right\}: x_n(t) \in C[a, b], \forall n \in \mathbb{N}, t \in[a, b]$$. Предположим, что последовательность $$\left\{x_n\right\}$$ является фундаментальной в $$C[a, b]$$ : $$ \forall \varepsilon>0 \exists N \in \mathbb{N}: \forall n, m \geqslant N \max _{t \in[a, b]}\left|x_n(t)-x_m(t)\right|<\varepsilon . $$

Используем критерий Коши равномерно сходимости функциональной последовательности. Следовательно, $$x_n(t) \stackrel{[a, b]}{\Longrightarrow} x(t)$$ для некоторой функции $$x(t), t \in[a, b]$$. Из математического анализа известно, что последовательность непрерывных функций равномерно сходится к непрерывной функции. Следовательно, $$x(t) \in C[a, b]$$(Сходимость в $$C[a, b]$$ - это равномерная сходимость).

Следовательно, последовательность $$\left\{x_n(t)\right\}$$ является сходящейся, и пространство $$C[a, b]-$$ полное метрическое.

Теорема Хаусдорфа о пополнении метрического пространства

Определение: Два метрических пространства $$\left(M_1, d_1\right)$$ и $$\left(M_2, d_2\right)$$ называются изометрическими$$\left(M_1 \sim M_2\right)$$, если существует взаимно однозначное соответствие между элементами этих пространств $$\varphi(\cdot): M_1 \rightarrow M_2$$, и $$ \forall x_1, y_1 \in M_1 \quad d_1\left(x_1, y_1\right)=d_2\left(\varphi\left(x_1\right), \varphi\left(y_1\right)\right) . $$

Теорема 3. Пусть $$M$$ - произвольное метрическое пространство. Тогда существует единственное (с точностью до изометрии) метрическое пространство $$\tilde{M}$$, которое является полным, $$M \sim M_0 \subset \tilde{M}, \bar{M}_0=\tilde{M}$$.

Доказательство:

Шаг 0: Две последовательности $$\left\{x_n\right\}$$ и $$\left\{y_n\right\}$$ называются эквивалентными, если $$d\left(x_n, y_n\right) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty$$.

Рассмотрим фундаментальные последовательности $$\left\{x_n\right\}$$ в метрическом пространстве $$M$$.

Пусть $$\tilde{M}$$ - множество классов эквивалентности из эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей.

На $$\tilde{M}$$введём метрику $$\tilde{d}$$ : $$ \forall X, Y \in \tilde{M} \Rightarrow \tilde{d}(X, Y)=\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n, y_n\right), \text { где }\left\{x_n\right\} \in X,\left\{y_n\right\} \in Y . $$

Шаг 1: Докажем существование предела последовательности $$\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n, y_n\right):$$

$$ d\left(x_n, y_n\right)-d\left(x_m, y_m\right) \leqslant d\left(x_n, x_m\right)+d\left(x_m, y_m\right)+d\left(y_m, y_n\right)-d\left(x_m, y_m\right)=d\left(x_n, x_m\right)+d\left(y_n, y_m\right) \rightarrow 0, n, m \rightarrow \infty \text {. } $$

Аналогично, $$d\left(x_m, y_m\right)-d\left(x_n, y_n\right) \leqslant d\left(x_n, x_m\right)+d\left(y_n, y_m\right) \rightarrow 0$$.

Следовательно, числовая последовательность $$\left\{d\left(x_n, y_n\right)\right\}$$ является фундаментальной, а значит и сходящейся.

Шаг 2: Докажем, что пределы эквивалентных последовательностей равны:

Пусть $$\left\{x_n\right\} \sim\left\{x_n^{\prime}\right\},\left\{y_n\right\} \sim\left\{y_n^{\prime}\right\}$$. Покажем, что $$\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n, y_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n^{\prime}, y_n^{\prime}\right)$$ :

$$ d\left(x_n, y_n\right)-d\left(x_n^{\prime}, y_n^{\prime}\right) \leqslant d\left(x_n, x_n^{\prime}\right)+d\left(x_n^{\prime}, y_n^{\prime}\right)+d\left(y_n^{\prime}, y_n\right)-d\left(x_n^{\prime}, y_n^{\prime}\right)=d\left(x_n, x_n^{\prime}\right)+d\left(y_n, y_n^{\prime}\right) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty $$

Аналогично доказывается, что

$$ d\left(x_n^{\prime}, y_n^{\prime}\right)-d\left(x_n, y_n\right) \leqslant d\left(x_n, x_n^{\prime}\right)+d\left(y_n, y_n^{\prime}\right) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty . $$

Следовательно, определение метрики $$\tilde{d}(X, Y)$$ является корректным (не зависит от конкретной фундаментальной последовательности из класса эквивалентности).

Шаг 3: Проверим, что определение метрики $$\tilde{d}(X, Y)$$ удовлетворяет аксиомам метрики:

- $$\tilde{d}(X, Y) \geqslant 0, \forall X, Y$$: $$ \tilde{d}(X, Y)=0 \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n, y_n\right)=0 \Leftrightarrow\left\{x_n\right\} \sim\left\{y_n\right\} \Leftrightarrow X=Y $$

- $$\tilde{d}(X, Y)=\tilde{d}(Y, X)$$;

- $$\tilde{d}(X, Y) \leqslant \tilde{d}(X, Z)+\tilde{d}(Z, Y)$$: $$ d\left(x_n, y_n\right) \leqslant d\left(x_n, z_n\right)+d\left(z_n, y_n\right) \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n, y_n\right) \leqslant \lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n, z_n\right)+\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(z_n, y_n\right) . $$

Доказано, что пространство $$\tilde{M}$$ является метрическим.

Пусть $$M_0$$ - множество элементов $$X$$, содержащих стационарные последовательности $$\{c, c, c, \ldots\} \in$$ $$X$$, где $$c \in M$$. Тогда $$M \sim M_0$$, так как $$ \forall x \in M \Rightarrow\{x, x, x, \ldots\} \in X, X \in M_0 $$

причём при $$x \neq y, x, y \in M ~~x \sim X, ~~y \sim Y, X \neq Y$$, так как $$d(x, y) \nrightarrow 0$$. При этом $$d(x, y)=\tilde{d}(X, Y)>0$$.

Шаг 4: Докажем, что $$\bar{M}_0=\tilde{M}$$.

$$\forall X \in \tilde{M}$$ рассмотрим последовательность $$\left\{x_n\right\} \in X$$. Для каждого $$n=1,2, \ldots \exists X_n \in M_0$$ : $$\left\{x_n, x_n, x_n, \ldots\right\} \in X_n, \tilde{d}\left(X, X_n\right)=\lim _{m \rightarrow \infty} d\left(x_m, x_n\right)$$.

Используем фундаментальность $$\left\{x_n\right\}:$$

$$\forall \varepsilon>0 \exists N \in \mathbb{N}: \forall n, m \geqslant N d\left(x_n, x_m\right)<\varepsilon \Rightarrow \lim _{m \rightarrow \infty} d\left(x_m, x_n\right) \leqslant \varepsilon, \forall n \geqslant N \Rightarrow \tilde{d}\left(X, X_n\right) \leqslant \varepsilon, \forall n \geqslant N$$.

Следовательно, $$X_n \rightarrow X$$, и $$\bar{M}_0=\tilde{M}$$ (замыкание множества $$M_0$$ совпадает с множеством $$\tilde{M}$$ ).

Шаг 5: Докажем полноту $$\tilde{M}$$:

Пусть $$\left\{X_n\right\}$$ - фундаментальная последовательность в $$\tilde{M}$$. Так как $$\bar{M}_0=\tilde{M}$$, то $$ \forall X_n \in \tilde{M} ~~\exists Y_n \in M_0: \tilde{d}\left(X_n, Y_n\right) \leqslant \frac{1}{n},\left\{y_n, y_n, y_n, \ldots\right\} \in Y_n . $$

Пусть $$\left\{y_1, y_2, y_3, \ldots\right\} \in X$$.

Докажем фундаментальность $$\left\{Y_n\right\}$$ : $$ \tilde{d}\left(Y_n, Y_m\right) \leqslant \tilde{d}\left(Y_n, X_n\right)+\tilde{d}\left(X_n, X_m\right)+\tilde{d}\left(X_m, Y_m\right) \leqslant \frac{1}{n}+\tilde{d}\left(X_n, X_m\right)+\frac{1}{m} \rightarrow 0, n, m \rightarrow \infty . $$

Следовательно, $$\left\{Y_n\right\}$$ фундаментальна. Так как $$\tilde{d}\left(Y_n, Y_m\right)=d\left(y_n, y_m\right)$$, то последовательность $$\left\{y_n\right\}$$ тоже фундаментальная, и $$X \in \tilde{M}$$.

Докажем теперь сходимость: $$ \tilde{d}\left(X, X_n\right) \leqslant \tilde{d}\left(X, Y_n\right)+\tilde{d}\left(Y_n, X_n\right) \leqslant \lim _{m \rightarrow \infty} d\left(y_m, y_n\right)+\frac{1}{n} \rightarrow 0, n \rightarrow \infty . $$

Следовательно, $$X_n \rightarrow X$$, а значит последовательность $$\left\{X_n\right\}$$ является сходящейся. Значит пространство $$\tilde{M}$$ является полным.

Шаг 6: Докажем единственность $$\tilde{M}$$ с точностью до изометрии:

Пусть существует другое пополнение $$M^*$$ пространства $$M$$. Тогда

$$ \begin{gathered} M \sim M_0 \subset \tilde{M}, \bar{M}_0=\tilde{M}, \\ M \sim M_1 \subset M^*, \bar{M}_1=M^* . \end{gathered} $$

Следовательно, $$M_0 \sim M_1$$ (следует из транзитивности понятия изометрии). Соответствие элементов этих множеств в силу изометрии будем обозначать следующим образом:

$$ X \leftrightarrow Y, \quad X \in M_0,~~ Y \in M_1 . $$

Пусть $$X, Y \in \tilde{M}, X, Y \notin M_0$$. Тогда

$$ \begin{aligned} & \exists X_n, Y_n \in M_0: X_n \rightarrow X, Y_n \rightarrow Y, \\ & X_n \leftrightarrow X_n^* \in M_1, Y_n \leftrightarrow Y_n^* \in M_1, \lim _{n \rightarrow \infty} X_n^*=X^* \in M^*, \lim _{n \rightarrow \infty} Y_n^*=Y^* \in M^* . \end{aligned} $$

Эти соотношения позволяют построить взаимно однозначное соответствие между $$\tilde{M}$$ и $$M^*: X \leftrightarrow X^*$$, $$Y \leftrightarrow Y^*$$. При этом

$$ \tilde{d}(X, Y)=\lim _{n \rightarrow \infty} \tilde{d}\left(X_n, Y_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \tilde{d}\left(X_n^*, Y_n^*\right)=\tilde{d}\left(X^*, Y^*\right) . $$

То есть построена изометрия между $$\tilde{M}$$ и $$M^*$$.