Системы множеств: различия между версиями
Liza22 (обсуждение | вклад) (Новая страница: «== Аннотация == В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, эл...») |
Liza22 (обсуждение | вклад) |
||
Строка 3: | Строка 3: | ||
== Операции над множествами == | == Операции над множествами == | ||
+ | === Определение 1 === | ||
+ | '''Объединением''' множеств $A$ и $B$ называется множество C (обозначается $C = A \cup B$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $A$ или $B$. | ||
+ | |||
+ | Множество $C$ называется '''объединением''' множеств $A_\alpha$, где $\alpha$ пробегает множество индексов $I$, и обозначается $C=\cup_{\alpha \in I} A_\alpha$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $A_\alpha$, т.е. | ||
+ | $$ | ||
+ | x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha . | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | === Определение 3 === | ||
+ | '''Пересечением''' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C=$ $A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. Множество $$C$$ называется '''пересечением''' множеств $A_\alpha$, где $\alpha$ пробегает множество индексов $I$, и обозначается $C=\cap_{\alpha \in I} A_\alpha$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $\Lambda_\alpha$, т.е. | ||
+ | $$ | ||
+ | x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha . | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами: | ||
+ | 1) ''коммутативность'' | ||
+ | $$A \cup B=B \cup A, A \cap B=B \cap A ;$$ | ||
+ | 2) ''ассоциативность'' | ||
+ | $$(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C):$$ | ||
+ | 3) ''дистрибутивность'' | ||
+ | $$A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C), A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).$$ | ||
+ | |||
+ | Разностью множеств $A$ и $B$ называется множество $C$ (обозначается $A \backslash B$ ), состоящее из элементов множества $A$, не принадлежащих множеству $B$. | ||
+ | |||
+ | Симметрической разностью множеств $A$ и $B$ называется множество $A \Delta B=$ $(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$. |
Версия 23:57, 2 ноября 2023
Аннотация
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.
Операции над множествами
Определение 1
Объединением множеств $A$ и $B$ называется множество C (обозначается $C = A \cup B$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $A$ или $B$.
Множество $C$ называется объединением множеств $A_\alpha$, где $\alpha$ пробегает множество индексов $I$, и обозначается $C=\cup_{\alpha \in I} A_\alpha$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $A_\alpha$, т.е. $$ x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha . $$
Определение 3
Пересечением множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C=$ $A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. Множество $$C$$ называется пересечением множеств $A_\alpha$, где $\alpha$ пробегает множество индексов $I$, и обозначается $C=\cap_{\alpha \in I} A_\alpha$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $\Lambda_\alpha$, т.е. $$ x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha . $$
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами: 1) коммутативность $$A \cup B=B \cup A, A \cap B=B \cap A ;$$ 2) ассоциативность $$(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C):$$ 3) дистрибутивность $$A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C), A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).$$
Разностью множеств $A$ и $B$ называется множество $C$ (обозначается $A \backslash B$ ), состоящее из элементов множества $A$, не принадлежащих множеству $B$.
Симметрической разностью множеств $A$ и $B$ называется множество $A \Delta B=$ $(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$.