Логистическое уравнение и его свойства: различия между версиями
Kirill23 (обсуждение | вклад) |
Kirill23 (обсуждение | вклад) |
||
Строка 22: | Строка 22: | ||
Здесь $$ r $$ и $$K$$ - положительные параметры. | Здесь $$ r $$ и $$K$$ - положительные параметры. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == Свойства == |
Версия 01:21, 16 ноября 2023
Определения
Пусть $$ N(t) $$ - численность изолированной популяции в момент времени $$ t $$. Скорость её изменения может быть представлена в следующем виде
\[ \dot N = \text{рождаемость} - \text{смертность} + \text{миграция} . \]
Вид различных членов в правой части этого уравнения зависит от конкретных условий существования популяций и присущих ей свойств. В простейшем случае предполагается отсутствие миграции, а члены рождаемости и смертности пропорциональны общей численности популяции $$ N$$:
\[ \dot N = bN - cN, \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \dot N = aN, \ a = b - c .\]
Поскольку в действительности наблюдаются стабильные популяции, то необходимо рассматривать математические модели, в которых плотность популяции играет регулирующую роль. Очевидно, что коэффициент размножения в такой модели должен быть не постоянным, а зависящим от численности или плотности. Более точно, математическая модель роста замкнутой популяции имеет вид
\[ \dot N = N f(N) , \]
где $$ f(N) $$ - коэффициент скорости роста популяции. Разложим $$ F(N) $$ в ряд Тейлора в окрестности нуля и отбросим все члены, кроме первых двух. Получим
\[ \dot N = N(a + bN), \]
где $$ a,b $$ - некоторые постоянные, причем естественно предположить, что $$ a > 0, \ b < 0 $$. Именно таким образом Альфред Лотка (Alfred Lotka, 1880–1949, один из создателей математической биологии) пришел к уравнению, которое стало известно как логистическое уравнение, которое после некоторых переобозначений запишется в виде:
\[ \dot N = rN \left( 1 - \dfrac{N}{k} \right) . \]
Здесь $$ r $$ и $$K$$ - положительные параметры.