Системы множеств

Аннотация

В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.

Операции над множествами

Определение. Объединением множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется объединением множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е. \[ x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha . \]

Определение. Пересечением множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется пересечением множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е. \[ x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha . \]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами:

1) коммутативность: \[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ассоциативность: \[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) дистрибутивность: \[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

Определение. Разностью множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

Определение. Симметрической разностью множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.

Ключевые инструменты

Определение. Непустая система множеств $$K$$ называется кольцом, если для любых $$A,\ B \in K$$: \[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, кольцо множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида \[ C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k \]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

Определение. Множество $$E$$ называется единицей системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство: \[ A \cap E=A. \]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств. Определение. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует. В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Определение. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$ (объединение попарно непересекающихся множеств), где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

Пример. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

Замечание. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

Определение. Кольцо $$K$$ называется $$\sigma$$-кольцом, если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

Определение. Кольцо $$K$$ называется $$\delta$$-кольцом, если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

Определение. Кольцо множеств с единицей называется алгеброй, $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-алгеброй, $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-алгеброй.

Лемма № 1

Пусть $$S$$ -- полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

Доказательство.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде \begin{equation*} A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right), \end{equation*} где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

Лемма доказана.

Лемма № 2 (о конечном разложении)

Пусть:

1) $$S$$ -- полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

Доказательство.

Докажем это утверждения по индукции.

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*} A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right). \end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*} A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) . \end{equation*} Лемма доказана.

Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом

Пусть $$S$$ -- полукольцо, $$K(S)$$ -- минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

Доказательство. Пусть $$K(S)$$ -- совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ --минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

Теорема доказана.

Примеры

1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

Борелевские множества

Определение. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

Определение. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства. Эти подмножества также называются борелевскими.

Замечание. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой -- континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма=алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

Утверждение. Борелевская мера неполна. Доказательство Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум -- противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

Теорема. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

Доказательство. Пусть $$A$$ -- измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ -- искомое. Теорема доказана

Теорема Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ измеримо по Лебегу.

Доказательство. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

Пример неизмеримого по Лебегу множества

Опираемся на аксиому выбора. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. доступно контекстное меню

Примеры измеримого по Лебегу но не по Борелю множества

1. Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но такое подмножество может не быть борелевским.

2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

Список литературы

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.