Теорема А.А. Фельдбаума о числе переключений

Постановка задачи

Закон движения объекта записывается в виде линейной системы дифференциальных уравнений: \[ \frac{dx_i}{dt} = \sum\limits_{k = 1}^{n}a_{ik}x_k + \sum\limits_{l = 1}^m b_{il}u_l, \] или в векторной форме: \[ \frac{dx}{dt} = Ax + Bu, \] где $$A$$ — матрица коэффициентов, имеющая все действительные собственные значения.
Будем рассматривать задачу быстродействия, то есть задачу о минимизации времени перехода: \[t_1 - t_0 = \int\limits_{t_0}^{t_1}dt\].
Множество допустимых управлений $$U$$ представляет собой параллелепипед, определенный неравенствами: \[ \alpha_i \leq u_i \leq \beta_i, i = 1, ..., m. \] Гамильтониан $$\mathcal{H}(\psi, x, u)$$ системы (1) имеет вид: \[ \mathcal{H} = (\psi, Ax) + (\psi, Bu) = \sum\limits_{j = 1}^n \psi_j \sum\limits_{i = 1}^n a_{ji}x_i + \sum\limits_{j = 1}^n \psi_j \sum\limits_{i = 1}^m b_{ji}u_i. \]
Вспомогательная система уравнений записывается следующим образом: \[ \frac{d\psi_j}{dt} = - \sum\limits_{i = 1}^na_{ji}\psi_j, j = 1, ..., n, \] или в векторной форме: \[ \frac{d\psi}{dt} = -A^{T}\psi. \] На основании принципа максимума можно заключить, что если $$u(t)$$ — оптимальное управление, переводящее точку $$x_0(t)$$ в точку $$x_k(t)$$, то существует такое решение $$\psi(t) вспомогательной системы (2,5), что: \[ (\psi(t), Bu(t)) = M(\psi(t)), \] где $$M(\psi, x) = sup_{u \in U} \mathcal{H}(\psi, x, u).

Формулировка теоремы А.А.Фельдбаума

Пусть множество допустимых управлений $$U$$ представляет собой параллелепипед, определенный неравенствами (2), и все собственные значения матрицы $$A$$ действительны. Тогда для каждого ненулевого решения $$\psi(t)$$ уравнений (3) соотношение