Решения ОДУ в смысле Каратеодори: различия между версиями
Maksim (обсуждение | вклад) |
Maksim (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
В дрызг и брызг рванула осень запоздалою жарой | В дрызг и брызг рванула осень запоздалою жарой | ||
| − | Рассмотрим систему ДУ: | + | Рассмотрим систему ДУ: \\ |
$$ \dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).$$ | $$ \dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).$$ | ||
| + | Мы хотим понять в каком смысле понимать траекторию этой системы $x(\cdot),$ если управление $u(\cdot)$ измеримая функция. | ||
| + | Введем обозначение | ||
| + | $$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$ | ||
| + | # Условия Каратеодори | ||
| + | Пусть $(t_0,x_0) \in \mathbb{R} \dot \mathbb{R}^n $и$ \exists a > 0, r > 0$ такие, что: | ||
| + | \begin{enumerate} | ||
| + | \item Пусть g(t,x) определена для $\forall x \in B_r(x_0)$ и почти всех $\forall t \in [t_0-a,t_0+a];$ | ||
| + | \item g(t,x) измерима по $t$ для всех $\forall x \in B_r(x_0)$, | ||
| + | g(t,x) непрерывна по $x$ для почти всех $\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];$ | ||
| + | \item $\exists m(\cdot)$ - интегрируема по Лебегу при $t \in t[t_0-a, t_0+a]$ такая, что | ||
| + | $$ ||g(t,x)|| \geq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];$$ | ||
| + | \end{enumerate} | ||
| + | Эти три условия и называются условиями Каратеодори. | ||
Версия 19:30, 28 ноября 2021
В дрызг и брызг рванула осень запоздалою жарой
Рассмотрим систему ДУ: \\ $$ \dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).$$ Мы хотим понять в каком смысле понимать траекторию этой системы $x(\cdot),$ если управление $u(\cdot)$ измеримая функция. Введем обозначение $$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
- Условия Каратеодори
Пусть $(t_0,x_0) \in \mathbb{R} \dot \mathbb{R}^n $и$ \exists a > 0, r > 0$ такие, что: \begin{enumerate} \item Пусть g(t,x) определена для $\forall x \in B_r(x_0)$ и почти всех $\forall t \in [t_0-a,t_0+a];$ \item g(t,x) измерима по $t$ для всех $\forall x \in B_r(x_0)$, g(t,x) непрерывна по $x$ для почти всех $\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];$ \item $\exists m(\cdot)$ - интегрируема по Лебегу при $t \in t[t_0-a, t_0+a]$ такая, что '"`UNIQ-MathJax3-QINU`"' \end{enumerate} Эти три условия и называются условиями Каратеодори.
