Классификация особых точек в двумерном пространстве

Постановка задачи

Рассмотрим линейную систему с постоянными вещественными коэффициентами относительно вектор-функции $$\overline{y}(t) = (y_1(t), y_2(t))^T$$ \begin{equation} \label{sist1} \dfrac{d\overline{y}}{dt} = A\overline{y}, \ \ A = \left(\ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\\ \end{array}\right) . \end{equation} Нас будут интересовать фазовые $$($$то есть в плоскости $$(y_1,y_2))$$ траектории системы (\ref{sist1}). Заметим, что фазовые траектории этой системы являются интегральными кривыми обыкновенного дифференциального уравнения, полученного после исключения переменной $$t$$ из (\ref{sist1}) \begin{equation} \label{sist2} \dfrac{dy_1}{dy_2} = \dfrac{a_{11}y_1+a_{12}y_2}{a_{21}y_1+a_{22}y_2} . \end{equation} Точка покоя $$(0,0)$$ является особой для для уравнения (\ref{sist2}), поскольку в ней нарушены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Поэтому через точку $$(0,0)$$ может проходить как несколько фазовых кривых, так и ни одной. Таким образом, точка покоя $$(0,0)$$ исходной системы (\ref{sist1}) является особой точкой уравнения (\ref{sist2}) в фазовых переменных.

Классификацию точек покоя будем проводить в зависимости от собственных значений и собственных векторов матрицы $$A$$. В рассматриваемом случае $$n=2$$ имеется два собственных значения $$\lambda_1, \lambda_2$$. Если $$\lambda_1 \neq \lambda_2,$$ то соответствующие собственные векторы \[ \overline{h_1} = \left(\ \begin{array}{ccc} h_{11} \\ h_{21}\\ \end{array}\right), \] \[ \overline{h_2} = \left(\ \begin{array}{ccc} h_{12} \\ h_{22}\\ \end{array}\right). \] линейно независимы и составляют базис в $$\mathbb{C}^{2}$$. Если $$\lambda_1 = \lambda_2,$$ то возможно существование как двух, так и одного линейно независимого собственного вектора. В последнем случае существует один присоединенный вектор, линейно независимый с собственным. Рассмотрим типы точек покоя в случае невырожденной матрицы $$A$$ $$(\mathrm{det} A \neq 0)$$.

Узел $$(\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}, \ \ \lambda_1 \neq \lambda_2, \ \ \lambda_1 \cdot \lambda_2 > 0)$$

Общее решение системы (\ref{sist1}) имеет вид \begin{equation} \label{sist3} y(t) = \begin{pmatrix} y_1(t) \\ y_2(t) \end{pmatrix} = С_1 \begin{pmatrix} h_{11} \\ h_{21} \end{pmatrix} e^{\lambda_1t} + С_2 \begin{pmatrix} h_{12} \\ h_{22} \end{pmatrix} e^{\lambda_2t}, \ \ \forall C_1, C_2 \in \mathbb{R}. \end{equation}

Рассмотрим сначала случай, когда собственные значения отрицательны: $$\lambda_2 < \lambda_1 < 0.$$ Тогда нулевая точка покоя асимптотически устойчива по Ляпунову и называется устойчивым узлом. Фазовые кривые при $$t \rightarrow +\infty$$ стремятся к устойчивому узлу: $$\overline{y}(t) \rightarrow \overline{\Theta}$$. Выясним, по какому направлению фазовые траектории входят в узел. Для этого вычислим производную \begin{equation} \label{sist4} \dfrac{dy_1}{dy_2} = \dfrac{C_1h_{11}\lambda_1e^{\lambda_1t} + C_2h_{12}\lambda_2e^{\lambda_2t}}{C_1h_{21}\lambda_1e^{\lambda_1t} + C_2h_{22}\lambda_2e^{\lambda_2t}} = \dfrac{C_1h_{11}\lambda_1 + C_2h_{12}\lambda_2e^{(\lambda_2 - \lambda_1)t}}{C_1h_{21}\lambda_1 + C_2h_{22}\lambda_2e^{(\lambda_2 - \lambda_1)t}}. \end{equation} Так как $$\lambda_2 - \lambda_1 < 0,$$ то при $$C_1 \neq 0$$ имеем $$\dfrac{dy_1}{dy_2} \rightarrow \dfrac{h_{11}}{h_{21}}$$ при $$t \rightarrow +\infty$$, то есть касательный вектор фазовой траектории в пределе коллинеарен собственному вектору $$\overline{h_1}$$. Если же $$C_1 = 0$$, то \[ \overline{y}(t) = C_2 \begin{pmatrix} h_{12} \\ h_{22} \end{pmatrix} e^{\lambda_2t}. \] Значит, фазовая траектория лежит на прямой, задаваемой собственным вектором $$\overline{h}_2$$, и приближается к точке покоя при $$t \rightarrow +\infty$$.

Фазовые траектории узла: а — устойчивый, б — неустойчивый

Выясним направление фазовых траекторий при $$t \rightarrow -\infty$$. В этом случае фазовые траектории, отличные от точки покоя, стремятся к бесконечно удаленной точке. В силу (\ref{sist3}) при $$C_2 \neq 0$$ имеем \[ \dfrac{dy_1}{dy_2} = \dfrac{C_1h_{11}\lambda_1e^{(\lambda_1-\lambda_2)t} + C_2h_{12}\lambda_2}{C_1h_{21}\lambda_1e^{(\lambda_1-\lambda_2)t} + C_2h_{22}\lambda_2} \rightarrow \dfrac{h_{12}}{h_{22}}, \ \ t \rightarrow -\infty, \ \ (\lambda_1 - \lambda_2 > 0), \] то есть траектории в окрестности бесконечно удаленной точки выстраиваются параллельно вектору $$\overline{h_2}$$. Если же $$C_2 = 0$$, то \[ \overline{y}(t) = C_1 \begin{pmatrix} h_{11} \\ h_{21} \end{pmatrix} e^{\lambda_1t}, \] и фазовая траектория лежит на прямой, задаваемой собственным вектором $$\overline{h_1}$$.

Для положительных собственных значений $$0 < \lambda_1 < \lambda_2$$ точка покоя называется неустойчивым узлом, расположение и вид траекторий остаются теми же, что и для отрицательных собственных значений, но направление движения по траекториям меняется на противоположное.

Полезно помнить правило узла: фазовые траектории входят в узел, касаясь собственного вектора с наименьшим по модулю собственным значением.

Дикритический узел $$(\lambda_1 = \lambda_2 \neq 0, \ \ \mathrm{dim \, ker}(A - \lambda_1E) = 2)$$

Фазовые траектории дикритического узла: a — устойчивый, б — неустойчивый

В случае дикритического узла двукратному собственному значению $$\lambda = \lambda_1 = \lambda_2$$ отвечают два линейно независимых собственных вектора $$\overline{h_1}$$ и $$\overline{h_2}$$ матрицы $$A$$. Тогда выражение $$(\ref{sist3})$$ для общего решения принимает вид \[ \overline{y}(t) = (C_1\overline{h_1} + C_2\overline{h_2})e^{\lambda t} \] и определяет на плоскости $$(y_1, y_2)$$ совокупность всевозможных лучей. Выделяют два типа дикритических узла: устойчивый дикритический узел, если лучи входят в точку покоя для $$\lambda < 0$$, при $$t \rightarrow +\infty$$, и неустойчивый дикритический узел, если лучи выходят из точки покоя для $$\lambda > 0$$ , при $$t \rightarrow +\infty$$.

Вырожденный узел $$(\lambda_1 = \lambda_2 \neq 0,\ \ \mathrm{dim \, ker}(A-\lambda_1E) = 1)$$

Фазовые траектории вырожденного узла: а — устойчивый, б — неустойчивый

Вырожденный узел устойчив, если $$\lambda_1 = \lambda_2 < 0$$, и неустойчив, если $$\lambda_1 = \lambda_2 > 0$$. В случае вырожденного узла двукратному собственному значению $$\lambda = \lambda_1 = \lambda_2$$ отвечает один собственный вектор $$\overline{h_1}$$ матрицы $$A$$ и один присоединенный вектор $$\overline{p_1}$$. Общее решение системы (\ref{sist1}) записывается в виде \[ \overline{y}(t) = C_1\overline{h_1}e^{\lambda t} + C_2(\overline{p_1} + t\overline{h_1})e^{\lambda t}. \] Если $$C_2 = 0$$, то фазовые траектории решения $$\overline{y}(t) = C_1\overline{h_1}e^{\lambda t}$$ состоят из двух лучей, входящих в точку покоя для $$\lambda < 0$$ (выходящих из точки покоя для $$\lambda > 0$$) при $$t \rightarrow +\infty$$ по направлению собственного вектора.

Если $$C_2 \neq 0$$, то \[ \overline{y}(t) = te^{\lambda t}(C_2\overline{h_1} + \overline{o}(1)), \ \ t \rightarrow +\infty. \] Видно, что решение касается собственного вектора в точке покоя при $$t \rightarrow +\infty$$ для $$\lambda < 0$$, либо при $$t \rightarrow -\infty$$ для $$\lambda > 0$$. На бесконечности при $$t \rightarrow +\infty$$ для $$\lambda < 0$$ либо при $$t \rightarrow -\infty$$ для $$\lambda > 0$$ фазовая траектория опять выстраивается по направлению собственного вектора, но в противоположном направлении благодаря смене знака множителя $$t$$.

Седло $$(\lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{R},\ \ \lambda_2 < 0 < \lambda_1)$$

Фазовые траектории седла.

Ясно, что седло является неустойчивой точкой покоя. Воспользуемся для анализа поведения траекторий формулой (\ref{sist3}). Для $$C_1 \neq 0 $$ при $$t \rightarrow +\infty$$ получаем представление \[ \overline{y}(t) = e^{\lambda_1 t}\left(C_1 \begin{pmatrix} h_{11} \\ h_{21} \end{pmatrix} + C_2 \begin{pmatrix} h_{12} \\ h_{22} \end{pmatrix}e^{(\lambda_2-\lambda_1)t}\right) = e^{\lambda_1t}\left(C_1\begin{pmatrix} h_{11} \\ h_{21} \end{pmatrix} + \overline{o}(1)\right). \] Кроме того, из (\ref{sist4}) нетрудно видеть, что $$\dfrac{dy_1}{dy_2} \rightarrow \dfrac {h_{11}}{h_{21}}$$, то есть фазовые траектории при $$t \rightarrow +\infty$$ стремятся к бесконечно удаленной точке и имеют асимптоту, задаваемую собственным вектором $$\overline{h_1}$$. Если же $$C_1 = 0$$, то $$\overline{y}(t) = C_2\overline{h_2}e^{\lambda_2t}$$, и фазовая траектория лежит на прямой, задаваемой собственным вектором $$\overline{h_2}$$, приближаясь к точке покоя при $$t \rightarrow +\infty$$.

Для $$t \rightarrow -\infty$$ картина противоположная: фазовые траектории стремятся к бесконечно удаленной точке при $$C_2 \neq 0$$ и имеют асимптоту, задаваемую вектором $$\overline{h_2}$$. Если $$C_2 = 0$$, то $$\overline{y}(t) = C_1\overline{h_1}e^{\lambda_1t}$$, и фазовая траектория лежит на прямой, задаваемой собственным вектором $$\overline{h_1}$$, приближаясь к точке покоя при $$t \rightarrow -\infty$$.

Фокус $$(\lambda_{1,2} = \delta \pm i\omega \in \mathbb{C}, \ \ \omega \neq 0, \ \ \delta \neq 0)$$

Фазовые траектории фокуса: а — устойчивый, б — неусточивый

Точка покоя называется фокусом, если матрица $$A$$ имеет комплексно сопряженные собственные значения с ненулевыми действительной и мнимой частями. Пусть $$\overline{h} = \overline{h_1} + i\overline{h_2}$$ $$—$$ собственный вектор с линейно независимыми $$\overline{h_{1,2}}$$, отвечающие собственному значению $$\lambda_1 = \delta + i\omega$$. Тогда действительная и мнимая части комплекснозначной вектор-функции $$\overline{z} = \overline{h}e^{\lambda_1t}$$ составляют вещественную фундаментальную систему решений системы \[ \left\{ \begin{array}{ccc} \overline{y_1}(t) = \mathrm{Re}(\overline{z}(t)) = e^{\delta t}(\overline{h_1}\cos{\omega t} - \overline{h_2}\sin{\omega t}), \\ \overline{y_2}(t) = \mathrm{Im}(\overline{z}(t)) = e^{\delta t}(\overline{h_1}\sin{\omega t} + \overline{h_2}\cos{\omega t}).\\ \end{array} \right. \] Поэтому общее вещественное решение имеет вид \[ \overline{y}(t) = C_1\overline{y_1}(t) + C_2\overline{y_2}(t) = e^{\delta t}(C_2\sin{\omega t} + C_1\cos{\omega t})\overline{h_1} + e^{\delta t}(C_2\cos{\omega t} - C_1\sin{\omega t})\overline{h_2}. \] Обозначая $$C = \sqrt{{C_1}^2 + {C_2}^2} \neq 0$$ и вводя вспомогательный угол $$\psi$$ из условий \[ \sin{\psi} = \dfrac{C_1}{C}, \ \ \cos{\psi} = \dfrac{C_2}{C}, \] приходим к разложению решения по базису, составленному из векторов $$\overline{h_1}$$ и $$\overline{h_2}$$ \[ \overline{y}(t) = \xi_1(t)\overline{h_1} + \xi_2(t)\overline{h_2}. \] Коэффициенты разложения определяются из соотношений \[ \xi_1(t) = Ce^{\delta t}\sin{(\omega t + \psi)},\ \ \xi_2(t) = Ce^{\delta t}\cos{(\omega t + \psi)}, \] задающих логарифмическую спираль. Выделяют два типа фокусов: устойчивый фокус $$—$$ фокус, при котором логарифмическая спираль при $$t \rightarrow +\infty$$ скручивается для $$\delta < 0$$, и неустойчивый фокус $$—$$ фокус, при котором логарифмическая спираль раскручивается для $$\delta > 0$$ .

Центр $$(\lambda_{1,2} = \pm i\omega \in \mathbb{C}, \ \ \omega \neq 0)$$

Фазовые траектории центра.

Точка покоя называется центром, если матрица $$A$$ имеет чисто мнимые комплексно сопряженные собственные значения. Таким образом, центр $$—$$ устойчивая по Ляпунову точка покоя, не являющаяся асимптотически устойчивой. С помощью комплекснозначного собственного вектора $$\overline{h} = \overline{h_1} + i\overline{h_2}$$ с линейно независимыми вещественными составляющими $$\overline{h_1}$$ и $$\overline{h_2}$$ аналогично случаю фокуса запишем общее решение в виде разложения $$\overline{y}(t) = \xi_1(t)\overline{h_1} + \xi_2(t)\overline{h_2}$$ с коэффициентами \[ \xi_1(t) = C\sin{(\omega t + \psi)},\ \ \xi_2(t) = C\cos{(\omega t + \psi)}, \] удовлетворяющими равенству $$\xi_1^2(t) + \xi_2^2(t) = C^2$$. Тогда вектор коэффициентов $$(\xi_1(t), \xi_2(t))$$ описывает периодическое движение по окружности.

Классификация точек покоя нелинейной системы

Точку покоя $$\overline{y_0} \in \mathbb{R}^n$$ автономной системы \begin{equation} \label{sist5} \dfrac{d\overline{y}(t)}{dt} = \overline{f}(\overline{y}(t)) \end{equation} будем называть грубой, если матрица производных \begin{equation} \label{sist6} A = (a_{ij}), \ \ a_{ij} = \dfrac{\partial f_i}{\partial y_j}(\overline{y_0}), \ \ i,j = 1, ..., n \end{equation} имеет ровно $$n$$ попарно различных собственных значений с ненулевой вещественной частью. Устойчивость по Ляпунову грубой особой точки всегда однозначно определяется с помощью первого метода Ляпунова. Оказывается, что и качественное поведение траекторий системы (\ref{sist5}) достаточно полно описывается с помощью линейной системы \begin{equation} \label{sist7} \dfrac{d\hat{y}(t)}{dt} = A\hat{y}(t) \end{equation} в малой окрестности каждой грубой точки покоя.

На плоскости $$(n=2)$$ грубой точке покоя соответствует линейная система вида (\ref{sist5}), имеющая нулевую точку покоя только для одного из следующих типов: узел, седло или фокус. Будем называть грубую точку покоя узлом, седлом или фокусом, если

Список литературы

1. Денисов А.М., Разгулин А.В. "Обыкновенные дифференциальные уравнения", 2009.
2. Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.