Банахово пространство

Определение нормированного пространства

Определение 1: Непустое множество $$L$$ элементов $$x, y, z\dots,$$ называется линейным, или векторным, пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

Для любых двух элементов $$x, y \in L$$ однозначно определен третий элемент $$z \in L$$, называемый их $$\textit{суммой}$$ и обозначаемый $$x + y$$, причем

1. $$ x + y = y + x$$ ($$\textit{коммутативность}$$);
2. $$ x + (y + z) = (x + y) + z$$ ($$\textit{ассоциативность}$$);
3. В $$L$$ существует такой элемент $$0$$, что $$ x + 0 = x$$ для всех $$ x \in L$$ ($$\textit{существование нуля}$$);
4. Для каждого $$ x \in L$$ существует такой элемент $$-x$$, что $$ x + (-x) = 0$$ ($$\textit{существование противоположного элемента}$$).

Для любого числа $$\alpha$$ и любого элемента $$ x \in L$$ определен элемент $$ \alpha x \in L$$ ($$\textit{произведение}$$ элемента $$x$$ на число $$\alpha$$), причем

1. $$ \alpha (\beta x) = (\alpha \beta) x$$ $$(\textit{ассоциативность умножения})$$;
2. $$ 1 \cdot x = x $$ ($$\textit{унитарность}$$);
3. $$ (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$$ ($$\textit{дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров}$$);
4. $$ \alpha (x+y) = \alpha x + \alpha y$$ ($$\textit{дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов}$$).

Определение 2: Пусть $$L$$ — линейное пространство. Каждому элементу $$ x$$ линейного пространства $$L$$ ставится в соответствие вещественное число, которое называется нормой этого элемента и обозначается $$\|x\|$$, причем предполагается, что норма элемента удовлетворяет следующим условиям $$(\textit{аксиомам нормы})$$:

1. $$\|x\| \geq 0 $$, причем $$\|x\| = 0 $$, лишь если $$x = 0$$;
2. $$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| $$;
3. $$\| \alpha x\| = |\alpha| \|x\|$$.

Определение 3: Линейное пространство $$L$$, в котором задана некоторая норма, называется нормированным пространством.

Всякое нормированное пространство становится метрическим пространством, если ввести в нем расстояние: \begin{equation*} d(x,y) = \|x - y\|. \end{equation*}

Легко проверить, что введенное расстояние удовлетворяет всем аксиомам метрики.

Определение банахова пространства

Введем аналогичные метрическому пространству понятия для нормированных пространств.

Определение 4: Последовательность $$\left\{x_n\right\}$$ называется сходящейся к пределу $$x \in M$$, если $$ \forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n>N ~~\|x_n - x\|<\varepsilon . $$ Определенная таким образом сходимость называется сходимостью по норме.

Определение 5: Последовательность точек $$\left\{x_n\right\}$$ в нормированном пространстве $$L$$ называется фундаментальной, если $$ \forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n, m>N \Rightarrow \|x_n - x_m\|<\varepsilon . $$

Определение 6: Нормированное пространство $$L$$ называется полным, если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства является сходящейся.

Определение 7: Полное в смысле сходимости по норме линейное нормированное пространство называется банаховым пространством.

Примеры

Так как линейное нормированное пространство является метрическим пространством, то для этого пространства имеют смысл все понятия, введенные в метрических пространствах.

Для банаховых пространств будет справедливым все, что установлено для полных метрических пространств. Рассмотрим примеры банаховых пространств.

Пример 1: Пространство $$\mathbb{R}^n$$ с введенной нормой \begin{equation*} \|x\| = \sqrt{\sum \limits_{i = 1}^{n} x_i^2}, \end{equation*} является банаховым пространством.

Пример 2: Пространство $$C[a, b]$$ с введенной нормой \begin{equation*} \|x\| = \max \limits_{t \in [a,b]} {x(t)}, \end{equation*} является банаховым пространством.

Пример 3: Пространство $$l_p$$ с введенной нормой \begin{equation*} \|x\| = \sqrt[p]{\sum \limits_{i = 1}^{\infty} {|x_i|^p}}, \end{equation*} является банаховым пространством.

Пример 4: Пространство $$L_p[a,b]$$ с введенной нормой \begin{equation*} \|x\| = \sqrt[p]{\int \limits_{a}^{b} {|x(t)|^p dt}}, \end{equation*} является банаховым пространством.

Пример 5: Рассмотрим пространство функций $$x(t)$$, определенных на $$[a,b]$$, непрерывных на этом отрезке и имеющих на нем непрерывные производные до $$k$$-го порядка включительно. Введем в данном пространстве норму: \begin{equation*} \|x\| = \max{(\max \limits_{t \in [a,b]} {x(t)}, \max \limits_{t \in [a,b]} {x^{\prime}(t)}, \dots, \max \limits_{t \in [a,b]} {x^{(k)}(t)})}. \end{equation*} Получим банахово пространство, которое обозначается $$C^{k}[a, b]$$. Это пространство широко используется в вариационном исчислении.

Пример 6: Пространство $$l_{\infty}$$ с введенной нормой \begin{equation*} \|x\| = \underset{i \in \mathbb{N}}{\text{sup}}|x_i|, \end{equation*} является банаховым пространством.

Список литературы

1. Точилин П. А. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

2. Моисеев Е. И. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.