Модель Рамсея и задачи оптимального управления для неё

Определение

Модель Рамсея (модель Рамсея-Касса-Купманса) (модель репрезентативного агента) — неоклассическая модель оптимального экономического роста, являющаяся обобщением экономической модели Солоу. В модели Солоу норма сбережений предполагалась заданной экзогенно. В реальности она зависит от поведения жителей страны (макрорегиона), а, значит, от их собственных предпочтений. Поэтому в модели Рамсея норма сбережений определяется эндогенно.

Описание модели

Экономические обозначения

Для описания модели введём следующие обозначения, применяемые в теории экономической математики.

• $$ u( \cdot ) $$ — функция полезности,
• $$ \rho > 0 $$ — норма субъективных межвременных предпочтений, субъективно выбранный положительный параметр дисконтирования,
• $$ L( \cdot )~= L(t)$$ — численность населения в момент времени $$ t $$ , неэластичное предложение труда,
• $$ C( \cdot )~= C(t)$$ — общие потребительские расходы в момент времени $$t$$,
• $$ с( \cdot )~= с(t)$$ — потребительские расходы на душу населения в момент времени $$t$$,
• $$ K( \cdot )~= K(t)$$ — объём капитала в момент времени $$t$$,
• $$ Y( \cdot )~= Y(t) $$ — объём выпуска в момент времени $$t$$,
• $$ I( \cdot )~= I((t)$$ — объём валовых инвестиций в момент времени $$t$$,
• $$r( \cdot ) ~= r(t) $$ — реальная доходность сбережений, ставка процента в момент времени $$t$$,
• $$ \sigma $$ — эластичность межвременного замещения (elasticity of intertemporal substitution),
• $$ \delta $$ — норма амортизации капитала.

Производство в экономике с репрезентативными домохозяйствами

Репрезентативное домохозяйство — домохозяйство, предпочтения которого при рациональном поведении (в задаче потребителя), приводят к таким решениям об уровне потребления и сбережения, что они эквивалентны совокупному потреблению (спросу) и сбережениям всех домохозяйств в экономике. Также предполагаем, что численность населения растёт с некоторым постоянным коэффициентом (темпом) $$n$$ и $$L(0)~=1$$, итого $$ L(t)~= e^{nt} $$.

Далее формализуем объём выпуска некоторого одного продукта $$Y(t)$$. Будем предполагать, что объём выпуска зависит от капитала $$K(t)$$ и от предложения труда $$L(t) $$. Объём выпуска описывается линейно-однородной производственной функцией: \begin{equation} Y(t) = F\left(K(t), L(t) \right) \end{equation} Где $$ F'_{K} > 0, F'_{L} > 0, F"_{KK} < 0, F"_{LL} < 0$$. Введём $$y(t) = \frac{Y(t)}{L(t)}$$ и $$ k(t) = \frac{K(t)}{L(t)} $$ — объём выпуска и объём капитала на душу населения в момент времени $$t$$. Тогда в силу линейно-однородности производственной функции запишем предыдущее выражение в интенсивной форме: \begin{equation} y(t) = f\left(k(t)\right) \label{eq_y} \end{equation} Структура валовых инвестиций $$I(t)$$ включает прирост капитала со временем, то есть $$ \dot{K(t)} $$ и амортизацией капитала $$\delta K$$ с нормой амортизации $$\delta $$. Тогда получим: \begin{equation} I(t)= \dot{K(t)} + \delta K(t) \label{prb:1:1} \end{equation} Далее, в силу предположения о закрытой экономики, получим следующую зависимость потребительских расходов $$C(t)$$, объёма инвестиций $$I(t)$$ и объёма выпуска $$Y(t)$$: \begin{equation} Y(t)~= C(t) + I(t) \label{prb:1:2} \end{equation} Тогда в силу \eqref{prb:1:1} и \eqref{prb:1:2} получим: \begin{equation} \dot{K(t)}~= Y(t) - C(t) - \delta K(t) \label{prb:1:3} \end{equation} Для получения уравнения \eqref{prb:1:3} в интенсивной форме выведем формулу для $$\dot{k(t)}$$: \begin{gather*} L(t)~=e^{nt} \rightarrow L'(t)~=nL(t) \\ \dot{k(t)}~= \left(\frac{K(t)}{L(t)}\right)'~= \frac{\dot{K(t)}L(t) - K(t)L'(t)}{L^2(t)}= \\ = \frac{\dot{K(t)}L(t) - K(t)n L(t)}{L^2(t)} ~= \frac{\dot{K(t)} - nK(t)}{L(t)} ~= \frac{\dot{K(t)}}{L(t)} - nk(t)\\ \end{gather*} Таким образом, получили: \begin{equation} \frac{\dot{K(t)}}{L(t)}~= \dot{k(t)} +nk(t) \label{prb:1:4} \end{equation} Аналогично $$y(t)$$ и $$k(t)$$ введём потребление на душу населения $$c(t)= \frac{C(t)}{L(t)}$$. Поделим обе части уравнения \eqref{prb:1:3} на $$L(t)$$ и, учитывая \eqref{prb:1:4} и \eqref{eq_y}, получим: \begin{gather*} \frac{\dot{K(t)}}{L(t)}~= y(t) - c(t) - \delta k(t) \\ \dot{k(t)} +nk(t)~= y(t) - c(t) - \delta k(t) \\ \dot{k(t)} ~= y(t) - c(t) - (\delta + n)k(t) \\ \dot{k(t)} ~= y(t) - c(t) - (\delta + n)k(t) \\ \dot{k(t)} ~= f\left(k(t) \right) - c(t) - (\delta + n)k(t) \\ \end{gather*} Таким образом, получили аналог уравнения \eqref{prb:1:3} в интенсивной форме: \begin{equation} \dot{k(t)} ~= f\left(k(t) \right) - c(t) - (\delta + n)k(t) \label{res_ogr} \end{equation} Уравнение в дальнейшем будем использовать, как ресурсное ограничение в задачи социального планировщика и в соответствующей задачи оптимального управления.

Трудовой доход и ставка процента

Определелим ставку процента $$r(t)$$, учитывая амортизацию $$\delta$$, и заработную плату(трудовой доход) $$w(t)$$: \begin{gather} w(t)~= F'_{L}\left(K(t),L(t) \right), \\ \label{eq_w} r(t)~= F'_{K}\left(K(t),L(t) \right) - \delta \label{eq_r} \end{gather} Далее, по аналогии с рассуждениями выше удобно рассмотреть выражения для $$r(t)$$ и $$w(t)$$ в интенсивной форме. Из определения производственной функции в интенсивной форме и её линейно-однородности верны следующие свойства: \begin{equation*} f'(k)~=F'_{K}\left(K(t),L(t) \right), y = f(k(t))~= F'_{K}k + F'_{L} \end{equation*} Тогда в силу уравнений \eqref{eq_w} и \eqref{eq_r}, получим уравнения в интенсивной форме: \begin{gather} w(t) = f\left(k(t) \right) - k(t)f'\left(k(t) \right), \\ \label{int_eq_w} r(t) = f'\left(k(t) \right) - \delta. \label{int_eq_r} \end{gather} В дальнейшем нам понадобится полученные уравнения для анализа задачи оптимального управления и интерпретации условий максимизации Гамильтониана.

Постановка задачи

Задача центрального планирования(задача социального планировщика) в закрытой экономике:

Пусть $$ u( \cdot ) $$ — функция мгновенной полезности. Аргументом функции будет являться потребительский расход $$c(t)$$ в момент времени $$ t $$. Ввиду того, что мы рассматриваем модель репрезентативного агента, то параметр дисконтирования $$ \rho $$ у социального планировщика такой же, как и у индивидуальных домохозяйств. Тогда в качестве целевой функции, требующей максимизации рассмотрим: \begin{equation} U~=\int_{0}^{∞}{u\left(c(t) \right) e^{-\rho t} dt} \longrightarrow \max_{c} \end{equation} Где $$u\left(c(t)\right)$$ — сепарабельная функция. Тоесть полезность в каждый момент времени зависит только от текущего потребления. Также $$u'(c) > 0$$ и $$\lim_{t \to \infty}{u'(c)}=0 $$ $$ \lim_{t \rightarrow 0}{u'(c)}= ∞$$. Учитывая ресурсное ограничение \eqref{res_ogr}, получим следующую задачу оптимильного управления: \begin{equation*} \begin{cases} U~=\int_{0}^{∞}{u\left(c(t) \right) e^{-\rho t} dt} \longrightarrow \max_{c}, \\ \dot{k(t)} ~= f\left(k(t) \right) - c(t) - (\delta + n)k(t), \\ k(0)~= k_0, \\ c(t) \geqslant 0, k(t) \geqslant 0. \end{cases} \end{equation*} $$c(t)$$ – переменная управления, $$k(t)$$ – переменная состояния.

Анализ задачи

Для решения поставленной задачи оптимального управления воспользуемся принципом максимума Портнягина [1] и функцией Гамильтона: \begin{gather} \mathcal{H}~=\mathcal{H}\left(k(t), c(t), \psi(t) \right)~= u\left(c(t) \right) e^{-\rho t} + \psi(t) \left[f\left(k(t) \right) - c(t) - (\delta + n)k(t) \right]. \end{gather} Где $$\psi(t)$$ — сопряжённая переменная соответствующей сопряжённой системы: \begin{equation*} \frac{d\psi}{dt} = -\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial k} \end{equation*} Интерпретируется сопряжённая переменная, как теневая цена инвестиций. Первое условие максимизации функции Гамильтона будет равенство нулю частной производной Гамильтониана по переменной управления: \begin{gather} \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial c}~=0 \\ \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial c}~= u'_{c}\left(c(t) \right)e^{-\rho t} - \psi(t) \Rightarrow \\ \Rightarrow u'_{c}\left(c(t) \right)e^{-\rho t} ~= \psi(t) \label{h_1} \\ \end{gather} Полученное условие \eqref{h_1} называется стандартным условием равенства цены и предельного выигрыша.

Далее распишем $$\dot{\psi(t)}$$ из определения сопряжённой системы: \begin{equation} \dot{\psi(t)}~= \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial k} ~= -\psi(t)\left[f'_k\left(k(t) \right) -n - \delta \right] \end{equation}

Вспомогательные утверждения

Правило Кейнса-Рамсея

Случай дискретного времени: \begin{equation} \frac{C_{t+1}}{C_{t}}~=\left(\frac{1+r}{1 +\rho } \right)^{\delta} \end{equation}

Случай непрерывного времени: \begin{equation} \frac{u'(C_{t+1})}{u'(C_t)}~=\left(\frac{1+r}{1 +\rho } \right) \end{equation}

Список литературы

С. М. Асеев, А. В. Кряжимский, "Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста",

Веселов Д.А. Пекарский С.Э. "Макроэкономика финансовых рынков"

Ramsey F.P. A mathematical theory of saving.