Решения ОДУ в смысле Каратеодори: различия между версиями
Maksim (обсуждение | вклад) (й) |
Maksim (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 32: | Строка 32: | ||
# <math> x(\cdot) \in C; </math> | # <math> x(\cdot) \in C; </math> | ||
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> | # для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> | ||
| + | # для почти всех <math> \dot \forall t</math> выолнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>. | ||
| + | Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример (тут будет картинка) | ||
| + | \begin{equation*} | ||
| + | X(\omega) = | ||
| + | \begin{cases} | ||
| + | \dot x(t) = 0\\ | ||
| + | x(0) = 0, | ||
| + | \end{cases} | ||
| + | \end{equation*} | ||
| + | Очевидно, что решение системы <math> x \equiv </math>. Но такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях. | ||
| + | Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на $x$: | ||
| + | <math> x(\cdot) -- /text{решение системы} \Leftrightarrow </math> | ||
| + | для всех $\forall t$ выполнено | ||
| + | <math>// x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau.</math> | ||
| + | Из курса функционального анализа известно, что если <math> z(\cdot) -- </math> измерима, то для любого <math> \epsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\epsilon) > 0: //</math> | ||
| + | <math> \forall: \mu Z \geq \delta \Rightarrow \int_{\tau} z(\tau) \,d\tau \geq \epsilon </math>, | ||
| + | что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. | ||
| + | Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: | ||
| + | 3') <math> \dot x -- </math> интегрируема по Лебегу; | ||
| + | 4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow | ||
| + | x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> | ||
| + | Введем важное определение | ||
| + | Опр1(сделать красиво). Функции, удовлетворяющие условиям 1) 2) 3') и 4) будем называть абсолютно непрерывными, а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] от англ. absolutely continuous. | ||
| + | В курсе математического анализа, это определение вводиться по-другому | ||
| + | ОПР1' Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau, \tau_1], | ||
| + | </math> если для любого <math> \epsilon > 0 </math> существует <math> \delta(\epsilon) > 0: \forall \tau_1^', \dots, \tau_k^', | ||
| + | \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''} <math> таких, что | ||
| + | <math> \tau_0 \geq \tau_1^' \geq \tau_1^{''} \geq \dots \geq \tau_k^' \geq \tau_k^{''} \geq \tau_1 </math> выполнено: | ||
| + | <math> // \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}| \Rightarrow | ||
| + | \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \geq epsilon </math> | ||
| + | Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений. | ||
| + | Замечание. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $f(x) = |x|.$ | ||
| + | Так же известно, что | ||
| + | $// Lip[\tau_0, \tau_1] \subseteq AC[\tau_0, tau_1], //$ | ||
| + | поскольку | ||
| + | $// ||x(\tau'')-x(\tau') || \geq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\epsilon) = \frac{\epsilon}{L}.$ | ||
| + | Данное вложение является строгим рассмотреть пример $x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$ | ||
| + | С учетом этих определений сформулируем новое определение. | ||
| + | ОПР3. Решением системы на $t_0-a \geq \tau_0 < \tau_1 \geq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$ по Каратеодори называется функция $x(\cdot),$ удовлетворяющая следующим критериям: | ||
| + | # <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math> | ||
| + | # <math>x(t_0) = x^{0} </math> | ||
| + | # для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math> | ||
| + | == Существование решения по Каратеодори == | ||
== Единственность решения == | == Единственность решения == | ||
#ты тут стартуешь | #ты тут стартуешь | ||
# Александр Бабаев | # Александр Бабаев | ||
Версия 05:02, 29 ноября 2021
В дрызг и брызг рванула осень запоздалою жарой
Рассмотрим систему ДУ\[\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).\] Мы хотим понять в каком смысле понимать траекторию этой системы \(x(\cdot)\), если управление \(u(\cdot)\) измеримая функция. Введем обозначение $$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Содержание
Условия Каратеодори
Пусть \((t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \) и \(\exists a > 0, r > 0\) такие, что:
- Пусть \(g(t,x)\) определена для \(\forall x \in B_r(x_0)\) и почти всех \(\forall t \in [t_0-a,t_0+a];\)
- \(g(t,x)\) измерима по \(t\) для всех \(\forall x \in B_r(x_0)\), \(g(t,x)\) непрерывна по \(x\) для почти всех \(\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];\)
- \(\exists m(\cdot) -- \) интегрируема по Лебегу при \(t \in t[t_0-a, t_0+a]\) такая, что
\( ||g(t,x)|| \geq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a]; \)
Эти три условия и называются условиями Каратеодори.
Абсолютно непрерывные функции
Мы бы хотели найти решение задачи Коши \begin{equation*} X(\omega) = \begin{cases} \dot x(t) = g(t, x(t))\\ x(t_0) = x^0, \end{cases} \end{equation*} в следующем классе функций:
- \( x(\cdot) \in C; \)
- для почти всех \( \dot \forall t\) существует \( \exists \dot x \)
- для почти всех \( \dot \forall t\) выолнено \( \dot x(t) = g(t, x(t))\).
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример (тут будет картинка) \begin{equation*} X(\omega) = \begin{cases} \dot x(t) = 0\\ x(0) = 0, \end{cases} \end{equation*} Очевидно, что решение системы \( x \equiv \). Но такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях. Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на $x$\[ x(\cdot) -- /text{решение системы} \Leftrightarrow \] для всех $\forall t$ выполнено \(// x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau.\) Из курса функционального анализа известно, что если \( z(\cdot) -- \) измерима, то для любого \( \epsilon > 0\) существует \( \exists \delta(\epsilon) > 0: //\) \( \forall: \mu Z \geq \delta \Rightarrow \int_{\tau} z(\tau) \,d\tau \geq \epsilon \), что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 3') \( \dot x -- \) интегрируема по Лебегу; 4) Для всех \( \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. \) Введем важное определение Опр1(сделать красиво). Функции, удовлетворяющие условиям 1) 2) 3') и 4) будем называть абсолютно непрерывными, а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] от англ. absolutely continuous. В курсе математического анализа, это определение вводиться по-другому ОПР1' Будем говорить, что \( x(\cdot) \in AC[\tau, \tau_1], \) если для любого \( \epsilon > 0 \) существует \( \delta(\epsilon) > 0: \forall \tau_1^', \dots, \tau_k^', \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''} <math> таких, что <math> \tau_0 \geq \tau_1^' \geq \tau_1^{''} \geq \dots \geq \tau_k^' \geq \tau_k^{''} \geq \tau_1 \) выполнено\[ // \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}| \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \geq epsilon \] Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений.
Замечание. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $f(x) = |x|.$ Так же известно, что $// Lip[\tau_0, \tau_1] \subseteq AC[\tau_0, tau_1], //$ поскольку $// ||x(\tau)-x(\tau') || \geq L |\tau-\tau'| \Rightarrow \delta(\epsilon) = \frac{\epsilon}{L}.$ Данное вложение является строгим рассмотреть пример $x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$ С учетом этих определений сформулируем новое определение. ОПР3. Решением системы на $t_0-a \geq \tau_0 < \tau_1 \geq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$ по Каратеодори называется функция $x(\cdot),$ удовлетворяющая следующим критериям:
- \( x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];\)
- \(x(t_0) = x^{0} \)
- для почти всех \( \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). \)
Существование решения по Каратеодори
Единственность решения
- ты тут стартуешь
- Александр Бабаев
