Гильбертово пространство: различия между версиями
Kirich23 (обсуждение | вклад) |
Kirich23 (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 18: | Строка 18: | ||
Из аксиом скалярного произведения вытекает '''неравенство Коши-Буняковкого''': | Из аксиом скалярного произведения вытекает '''неравенство Коши-Буняковкого''': | ||
$$|(x,y)|\leq ||x|||y||$$, для любых $$x$$ и $$y \in H$$ | $$|(x,y)|\leq ||x|||y||$$, для любых $$x$$ и $$y \in H$$ | ||
| + | |||
| + | '''Теорема 1.''' | ||
| + | Норма порождается скалярным произведением тогда и только тогда, когда выполнено '''тождество параллелограмма'''. | ||
| + | $$ | ||
| + | \all x,y \in H, ||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2) | ||
| + | $$ | ||
Версия 01:40, 22 декабря 2024
Определение
Определение 1. Полное евклидово (унитарное) бесконечномерное пространство называется Гильбертовым. Обозначается как $$H$$ .
Гильбертово пространство это частный случай банахова пространства.
Связь нормы и скалярного произведения
В гильбертовом пространстве, как и во всяком евклидовом или унитарном пространстве, норма согласована со скалярным произведением. В общем случае норма и скалярное произведение никак не связаны между собой.
В гильбертовом пространстве норма связана со скалярным произведением следующим образом: $$ ||x||=\sqrt{(x,x)} $$
Из аксиом скалярного произведения вытекает неравенство Коши-Буняковкого: $$|(x,y)|\leq ||x|||y||$$, для любых $$x$$ и $$y \in H$$
Теорема 1. Норма порождается скалярным произведением тогда и только тогда, когда выполнено тождество параллелограмма. $$ \all x,y \in H, ||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2) $$
