Гильбертово пространство: различия между версиями
Kirich23 (обсуждение | вклад) |
Kirich23 (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 21: | Строка 21: | ||
'''Теорема 1.''' | '''Теорема 1.''' | ||
Норма порождается скалярным произведением тогда и только тогда, когда выполнено '''тождество параллелограмма'''. | Норма порождается скалярным произведением тогда и только тогда, когда выполнено '''тождество параллелограмма'''. | ||
| − | $$ | + | |
| − | \ | + | $$\forall x,y \in H, ||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)$$ |
| − | $$ | ||
Версия 01:41, 22 декабря 2024
Определение
Определение 1. Полное евклидово (унитарное) бесконечномерное пространство называется Гильбертовым. Обозначается как $$H$$ .
Гильбертово пространство это частный случай банахова пространства.
Связь нормы и скалярного произведения
В гильбертовом пространстве, как и во всяком евклидовом или унитарном пространстве, норма согласована со скалярным произведением. В общем случае норма и скалярное произведение никак не связаны между собой.
В гильбертовом пространстве норма связана со скалярным произведением следующим образом: $$ ||x||=\sqrt{(x,x)} $$
Из аксиом скалярного произведения вытекает неравенство Коши-Буняковкого: $$|(x,y)|\leq ||x|||y||$$, для любых $$x$$ и $$y \in H$$
Теорема 1. Норма порождается скалярным произведением тогда и только тогда, когда выполнено тождество параллелограмма.
$$\forall x,y \in H, ||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)$$
