Гильбертово пространство

Определение

Определение 1. Полное евклидово (унитарное) бесконечномерное пространство называется Гильбертовым. Обозначается как $$H$$ .

Гильбертово пространство это частный случай банахова пространства.

Связь нормы и скалярного произведения

В гильбертовом пространстве, как и во всяком евклидовом или унитарном пространстве, норма согласована со скалярным произведением. В общем случае норма и скалярное произведение никак не связаны между собой.

В гильбертовом пространстве норма связана со скалярным произведением следующим образом: $$ ||x||=\sqrt{(x,x)} $$

Из аксиом скалярного произведения вытекает неравенство Коши-Буняковкого: $$|(x,y)|\leq ||x|||y||$$, $$\forall x, y \in H$$

Теорема 1. Норма порождается скалярным произведением тогда и только тогда, когда выполнено тождество параллелограмма.

$$||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2), \forall x, y \in H$$

Доказательство:

1. Если норма порождается скалярным произведением, то тогда

$$||x+y||^2=(x+y,x+y)=||x||^2+||y||^2+(x,y)+(y,x)$$,

$$||x-y||^2=(x-y,x-y)=||x||^2+||y||^2-(x,y)-(y,x)$$.

После сложения получаем требуемое.

1. Вещественный случай:

$$(x,y)=\frac{1}{2}(||x+y||^2-||x||^2-||y||^2)$$.

Проверим аксиомы скалярного произведения