Гильбертово пространство

Определение

Определение 1. Полное евклидово (унитарное) бесконечномерное пространство называется Гильбертовым. Обозначается как $$H$$ .

Гильбертово пространство это частный случай банахова пространства.

Связь нормы и скалярного произведения

В гильбертовом пространстве, как и во всяком евклидовом или унитарном пространстве, норма согласована со скалярным произведением. В общем случае норма и скалярное произведение никак не связаны между собой.

В гильбертовом пространстве норма связана со скалярным произведением следующим образом: $$ ||x||=\sqrt{(x,x)} $$

Из аксиом скалярного произведения вытекает неравенство Коши-Буняковкого: $$|(x,y)|\leq ||x|||y||$$, $$\forall x, y \in H$$

Теорема 1. Норма порождается скалярным произведением тогда и только тогда, когда выполнено тождество параллелограмма.

$$||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2), \forall x, y \in H$$

Доказательство:

1) Если норма порождается скалярным произведением, то тогда \begin{equation} ||x+y||^2=(x+y,x+y)=||x||^2+||y||^2+(x,y)+(y,x), \end{equation} \begin{equation} ||x-y||^2=(x-y,x-y)=||x||^2+||y||^2-(x,y)-(y,x). \end{equation} После сложения получаем требуемое.

2) Вещественный случай: $$(x,y)=\frac{1}{2}(||x+y||^2-||x||^2-||y||^2)$$.

Проверим аксиомы скалярного произведения

1. (x,y)=(y,x), очевидно выполняется
2. (x+y,z)=(x,z)+(y,z),

$$\Delta=2((x+y,z)-(x,z)-(y,z))=||x+y+z||^2-||x+y||^2-||z||^2-||x+z||^2+||x||^2+||z||^2-||y+z||^2+||y||^2+||z||^2$$

упростим

$$||x+y+z||^2-||x+y||^2-||x+z||^2-||y+z||^2+||x||^2+||y||^2+||z||^2$$

Применим тождество параллелограмма к вектору $$x+y+2z=(x+y+z)+z=(x+z)+(y+z)$$ и получим: $$||x+y+2z||^2+||x+y||^2=2||x+y+z||^2+2||z||^2$$,

$$||x+y+2z||^2+||x-y||^2=2||x+z||^2+2||y+z||^2$$

Вычитаем из первого второе

$$||x+y||^2-||x-y||^2=2||x+y+z||^2-2||x+z||^2-2||y+z||^2+2||z||^2$$

$$\Delta=\frac{1}{2}(||x+y||^2-||x-y||^2)+||x+z||^2+||y+z||^2-||z||^2-||x+z||^2-||y+z||^2-||x+y||^2+||x||^2+||y||^2+||z||^2$$

После сокращений $$\frac{1}{2}(||x+y||^2-||x-y||^2)+||x||^2+||y||^2-||x+y||^2$$

$$||x||^2+||y||^2-\frac{1}{2}(||x+y||^2+||x-y||^2)=0$$

Получили, что вторая аксиома выполняется

1. Третья аксиомы выводится из второй

$(\alpha x,y)=\alpha(x,y)$ $$ (2x,y)=(x+x,y)={2}=(x,y)+(x,y)=2(x,y) $$ верно для $\alpha=2$ для $\alpha=n$: $(nx,y)=((n-1)x-(x,y)$ То есть для всех натуральных чисел эту аксиому проверили

Для нуля $(o,y)=\frac{||0+y||^2-||0||^2-||y||^2}{2}$ $$ 0=(0,y)=(x-x,y)=(x+(-x),y)=(x,y)+(-x,y): ((-x),y)=-(x,y) $$ Таким образом распространили на все целые, далее распространим на рациональные. $$ \alpha \in Q: (x,y)=n(\frac{x}{n},y)=n(\frac{x}{n},y), (\frac{x}{n},y)=\frac{1}{n}(x,y) $$ $$ (\frac{m}{n}x,y)=m(\frac{x}{n},y)=\frac{m}{n}(x,y) $$ $\alpha \in R$\\ норма непрерывна, значит значит раз скалярное проивездение вводится через норму, то будет непрерывным и предполагаемое скалярное проивзедение, значит, мы можем совершать предельный переход под знаком скалярного произведения. Значит для всех вещественных чисел 3 аксиома выполняется\\ $4. (x,x)\geq 0$, причем $(x,x)=0 <=> x=0$. Очевидно. Все 4 аксиомы проверены. Для вещественного случая доказано.\\ Теперь для комплексного случая. $$ ||x+y||^2=||x||^2+||y||^2+2Re(x,y) $$ $$ ||x+iy||^2=||x||^2+||y||^2-2Im(x,y) $$ $$ (x,y)=\frac{||x+y||^2-||x-y||^2}{4}-i \frac{||x+iy||^2-||x-iy||^2}{4} $$ Справедливость аксиом вытекает из вещественного случая. Здесь они автоматически будут выполнены.