|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | == Мешок Бендиксона ==
| |
| | | | |
| − | Рассматриваем [[Динамическая система|двумерную динамическую систему]]
| |
| − | \begin{equation}\label{ode}
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \dot u_1(t) = f_1(u_1(t),u_2(t)), \\
| |
| − | \dot u_2(t) = f_2(u_1(t),u_2(t)).
| |
| − | \end{cases}\quad
| |
| − | u\in U\subseteq\mathbb R^2.
| |
| − | \end{equation}
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Bendixson-bad-case.png|мини|Случай разворота траектории двумерной ДС]]
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Bendixson-cycling.png.png|мини|Траектория "закручивается" вдоль кривой $$\Gamma$$]]
| |
| − |
| |
| − | Пусть выбрана некоторая траектория $$u(t,u_0)$$ системы \eqref{ode} с начальным условием
| |
| − | \begin{equation*}
| |
| − | (u_1(0),u_2(0))=(u_1^0,u_2^0)=u_0.
| |
| − | \end{equation*}
| |
| − |
| |
| − | Выберем в координатах $$Ou_1u_2$$ кривую $$\Gamma$$ такую, что
| |
| − |
| |
| − | 1. $$\Gamma$$ пересекает траекторию $$u(t,u_0)$$ в некоторой точке, обозначим её $$x_1$$;
| |
| − |
| |
| − | 2. в точках $$\Gamma$$ не происходит касания ни с какой траекторией системы \eqref{ode};
| |
| − |
| |
| − | 3. по близости с $$\Gamma$$ нет [[Неподвижные точки системы|особых точек]] системы \eqref{ode}.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Отметим, что требование отсутствия по близости к $$\Gamma$$ особых точек наложено из-за случая, когда траектория "разворачивается".
| |
| − | Мы ожидаем, что траектория будет либо спиралевидно "закручиваться" , либо спиралевидно "раскручиваться" , и "развороты" не будут иметь место.
| |
| − | На языке теории векторного поля, это означает, что векторное поле является знакопостоянным в окрестности кривой $$\Gamma$$.
| |
| − |
| |
| − | Таким образом, т.к. траектория сама себя не пересекает, внутри области "закручивания" находится [[Многомерная система Лотки-Вольтерры. Теорема об отсутствии циклов|предельный цикл]] или особая точка системы \eqref{ode}. Такому поведению соответствует мешок Бендиксона.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | '''Определение.'''
| |
| − | '''Мешком Бендиксона''' называется область фазового пространства системы \eqref{ode} такая, что указанная траектория $$u(t,u_0)$$ "закручивается" вдоль кривой $$\Gamma$$.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Ограничимся рассмотрением случая, когда система \eqref{ode} имеет предельный цикл $$\gamma$$ внутри мешка Бендиксона.
| |
| − | Выберем $$\Gamma$$ — кривая, которая имеет единственную точку пересечения с $$\gamma$$, обозначим её $$x_0$$.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | На кривой $$\Gamma$$ введём новую систему координат (одномерную параметризацию). На практике полагают $$\Gamma$$ — отрезок, а система координат соответствует прямой, его содержащей.
| |
| − |
| |
| − | По мере эволюции кривая $$u(t,u_0)$$ последовательно пересекает кривую $$\Gamma$$ в точках $$x_1$$, $$x_2$$, $$x_3$$ и т.д. Далее каждой точке $$x_i$$ поставим в соответствие координату $$a_i\in\mathbb{R}$$ в системе координат, отвечающей кривой $$\Gamma$$:
| |
| − | \begin{gather*}
| |
| − | x_0\mapsto a_0,\quad x_1\mapsto a_1,\quad x_2\mapsto a_2, \quad\dots\quad x_k\mapsto a_k, \quad\dots
| |
| − | \end{gather*}
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | '''Определение.'''
| |
| − | Пусть векторное поле, отвечающее \eqref{ode}, знакопостоянно вдоль кривой $$\Gamma$$.
| |
| − | Тогда задана '''функция последования''' — числовая функция $$\psi :\mathbb R \mapsto \mathbb R$$, которая определяет, в какой точке произойдет следующее пересечение траектории $$u(t,u_0)$$ с кривой $$\Gamma$$ в системе координат, связанной с $$\Gamma$$:
| |
| − | \begin{gather*}
| |
| − | \psi(a_1)=a_2,\quad\psi(a_2)=a_3,\quad\dots\quad\psi(a_k)=a_{k+1},\quad\dots
| |
| − | \end{gather*}
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | От исследования предельных циклов \eqref{ode} можно перейти к исследованию замкнутых траекторий \eqref{ode}.
| |
| − |
| |
| − | '''Утверждение 1.'''
| |
| − | Если $$a_0$$ — координата пересечения замкнутой траектории с кривой $$\Gamma$$, то $$\psi(a_0)=a_0$$.
| |
| − |
| |
| − | Следовательно, [[Неподвижные точки системы|неподвижные точки]] функции последования $$\psi(\cdot)$$ соответствуют пересечению кривой $$\Gamma$$ с замкнутыми траекториями системы \eqref{ode}.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | == Отображение Пуанкаре ==
| |
| − |
| |
| − | Отображение Пуанкаре применяется для исследования наличия замкнутых траекторий и устойчивости предельных циклов системы \eqref{ode}. На практике в произвольной области пространства выбирается кривая $$\Gamma$$, отвечающая перечисленным свойствам, с удобной параметризацией, исследуется поведение конкретных траекторий \eqref{ode} внутри окрестности $$\Gamma$$ и нули отображения Пуанкаре.
| |
| − |
| |
| − | Введём понятие отображения Пуанкаре. Рассматриваем ту же функцию последования $$\psi(\cdot)$$ из прошлого пункта.
| |
| − |
| |
| − | '''Определение.'''
| |
| − | Отображением Пуанкаре называется числовая функция $$\Pi :\mathbb R \mapsto\mathbb R$$ такая, что
| |
| − | \begin{gather*}
| |
| − | \Pi(a_1) = \psi(a_1) - \psi(a_2), \\
| |
| − | \Pi(a_2) = \psi(a_2) - \psi(a_3), \\
| |
| − | \dots \\
| |
| − | \Pi(a_k) = \psi(a_k) - \psi(a_{k+1}), \\
| |
| − | \dots
| |
| − | \end{gather*}
| |
| − |
| |
| − | По определению, неподвижные точки $$\psi(\cdot)$$ соответствуют нулям функции $$\Pi(\cdot)$$ и наоборот.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | '''Утверждение 2.'''
| |
| − | Чтобы в точке с координатой $$a^*$$ кривая $$\Gamma$$ пересекала замкнутую траекторию системы \eqref{ode}, необходимо и достаточно, чтобы $$\psi(a^*)=a^*$$ или $$\Pi(a^*)=0$$.
| |
| − |
| |
| − | '''Доказательство.'''
| |
| − | Следует из устройства мешка Бендиксона: если положить от противного, что $$\psi(a^*)\neq a^*$$, то траектория либо "закручивается" внутрь себя, либо "раскручивается" от себя, имеем противоречие с замкнутостью данной траектории. В обратную сторону доказываем аналогично.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | '''Утверждение 3.'''
| |
| − | Чтобы предельный цикл $$\gamma$$ был устойчивым, необходимо, чтобы $$|\psi'(a^*)| < 1$$.
| |
| − |
| |
| − | '''Доказательство.'''
| |
| − | Следует из [[Циклы в системах с дискретным временем. Теорема Шарковского|теории дискретных динамических систем]].
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | == Список литературы ==
| |
| − |
| |
| − | 1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.
| |
| − |
| |
| − | 2. Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2024.
| |
