Сопряжённый линейный оператор: различия между версиями

Материал из sawiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Полностью удалено содержимое страницы)
Метка: очистка
Строка 1: Строка 1:
 +
\documentclass[12pt]{article}
 +
\usepackage[russian]{babel}
 +
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
 +
\usepackage{graphicx}
 +
\usepackage[colorlinks=true, urlcolor=blue]{hyperref}
  
 +
\newtheorem{theorem}{Теорема}
 +
\newtheorem{definition}{Определение}
 +
\newtheorem{example}{Пример}
 +
 +
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
 +
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
 +
\newcommand{\LL}{\mathcal{L}}
 +
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
 +
\newcommand{\ImOp}{\operatorname{Im}}
 +
 +
\title{Пространство линейных операторов и норма}
 +
\author{SAWiki}
 +
\date{}
 +
 +
\begin{document}
 +
 +
\maketitle
 +
 +
\begin{abstract}
 +
В этой статье вводится пространство линейных непрерывных операторов $\LL(X, Y)$ и изучается понятие нормы линейного оператора. Доказываются основные свойства нормы и её связь с ограниченностью операторов.
 +
\end{abstract}
 +
 +
\section{Пространство линейных операторов}
 +
 +
Пусть $\LL(X, Y)$ — множество всех линейных непрерывных операторов, действующих из $X$ в $Y$. Введём в $\LL(X, Y)$ операции сложения и умножения на скаляр:
 +
\[
 +
(A + B)x = Ax + Bx, \quad (\lambda A)x = \lambda Ax.
 +
\]
 +
Множество $\LL(X, Y)$ с такими операциями образует линейное пространство.
 +
 +
'''Определение 1.''' Пусть $X$ — линейное пространство. Функция $\|\cdot\|: X \to \mathbb{R}$, определённая на $X$, является нормой, если выполнены аксиомы:
 +
 +
1. $\forall x \in X \|x\| \geq 0$; $\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0$,
 +
 +
2. $\forall x \in X$ $\forall \lambda \in \mathbb{R}$; $\|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\|$,
 +
 +
3. $\forall x, y \in X$; $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$.
 +
 +
Любая норма порождает метрику над $X$: $\rho(x,y) = \|x - y\|$.
 +
 +
'''Определение 2.''' '''Нормой линейного оператора''' $A \in \LL(X, Y)$ называется число
 +
\[
 +
\|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|.
 +
\]
 +
 +
\section{Свойства нормы оператора}
 +
 +
'''Теорема 1.''' Функция $\|\cdot\| : \LL(X, Y) \to \mathbb{R}$ является нормой, т.е. удовлетворяет аксиомам:
 +
 +
1. $\forall A \in \LL(X, Y)$; $\|A\| \geq 0$; $\|A\| = 0 \Leftrightarrow A = 0$,
 +
 +
2. $\forall A \in \LL(X, Y)$ $\forall \lambda \in \mathbb{R}$; $\|\lambda A\| = |\lambda| \cdot \|A\|$,
 +
 +
3. $\forall A, B \in \LL(X, Y)$; $\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$.
 +
 +
''Доказательство.''
 +
 +
1) Очевидно, $\|A\| \geq 0$. Если $\|A\| = 0$, то $\|Ax\| = 0$ для всех $x$ с $\|x\| \leq 1$, откуда $A = 0$.
 +
 +
2) $\|\lambda A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|\lambda Ax\| = |\lambda| \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\| = |\lambda| \cdot \|A\|$.
 +
 +
3) Для любого $x$ с $\|x\| \leq 1$ имеем:
 +
\[
 +
\|(A + B)x\| = \|Ax + Bx\| \leq \|Ax\| + \|Bx\| \leq \|A\| + \|B\|.
 +
\]
 +
Переходя к супремуму, получаем $\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$. $\square$
 +
 +
Понятие нормы линейного оператора позволяет изучать операторы как элементы нормированных пространств, применять к ним методы математического анализа и исследовать сходимость последовательностей операторов.
 +
 +
Докажем еще одно полезное утверждение для ограниченного оператора.
 +
 +
'''Теорема 2.''' Если $A$ — ограниченный линейный оператор, то справедлива оценка
 +
\[
 +
\|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|
 +
\]
 +
для всех $x \in X$, где $\|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|$.
 +
 +
''Доказательство.''
 +
 +
При $x = 0$ неравенство очевидно. Пусть $x \neq 0$, рассмотрим $x' = \frac{x}{\|x\|}$. Поскольку $\|x'\| = 1$, то по определению нормы $\|Ax'\| \leq \|A\|$. Подставляя $x'$, получим $\frac{\|Ax\|}{\|x\|} \leq \|A\|$, т.е. $\|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|$, что и требовалось доказать. $\square$
 +
 +
\section{Примеры и иллюстрации}
 +
 +
\subsection{Пример вычисления нормы оператора}
 +
 +
\begin{example}
 +
Рассмотрим оператор $A: \RR^2 \to \RR^2$, заданный матрицей:
 +
\[
 +
A = \begin{pmatrix}
 +
2 & 0 \\
 +
0 & 3
 +
\end{pmatrix}.
 +
\]
 +
Найдём его норму. Для любого $x = (x_1, x_2)$ с $\|x\| \leq 1$ имеем:
 +
\[
 +
\|Ax\| = \sqrt{(2x_1)^2 + (3x_2)^2} = \sqrt{4x_1^2 + 9x_2^2}.
 +
\]
 +
Максимум этого выражения при $x_1^2 + x_2^2 \leq 1$ достигается при $x_1 = 0$, $x_2 = 1$ и равен 3. Следовательно, $\|A\| = 3$.
 +
\end{example}
 +
 +
\subsection{Геометрическая интерпретация}
 +
 +
\begin{figure}[h]
 +
\centering
 +
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{operator_norm.pdf}
 +
\caption{Геометрическая интерпретация нормы оператора}
 +
\label{fig:norm}
 +
\end{figure}
 +
 +
На Рис. \ref{fig:norm} показана геометрическая интерпретация нормы оператора:
 +
\begin{itemize}
 +
\item Единичная сфера в $X$ отображается в некоторое множество в $Y$
 +
\item Норма оператора — это радиус наименьшего шара в $Y$, содержащего образ единичной сферы
 +
\item Красная стрелка показывает вектор, на котором достигается супремум
 +
\end{itemize}
 +
 +
\section{Приложения}
 +
 +
\begin{itemize}
 +
\item \textbf{Теория возмущений:} Норма оператора используется для оценки влияния малых возмущений на решение операторных уравнений.
 +
 +
\item \textbf{Численные методы:} При приближённом решении уравнений важно оценивать нормы возникающих операторов.
 +
 +
\item \textbf{Функциональный анализ:} Пространство $\LL(X, Y)$ с введённой нормой является банаховым пространством, если $Y$ — банахово пространство.
 +
\end{itemize}
 +
 +
\section*{См. также}
 +
 +
\begin{itemize}
 +
\item \href{http://sawiki.cs.msu.su/wiki/Линейный_оператор}{Линейный оператор}
 +
\item \href{http://sawiki.cs.msu.su/wiki/Банахово_пространство}{Банахово пространство}
 +
\item \href{http://sawiki.cs.msu.su/wiki/Ограниченный_оператор}{Ограниченный оператор}
 +
\item \href{https://ru.wikipedia.org/wiki/Норма_оператора}{Норма оператора — Википедия}
 +
\end{itemize}
 +
 +
\end{document}

Версия 04:22, 13 октября 2025

\documentclass[12pt]{article} \usepackage[russian]{babel} \usepackage{amsmath,amssymb,amsthm} \usepackage{graphicx} \usepackage[colorlinks=true, urlcolor=blue]{hyperref}

\newtheorem{theorem}{Теорема} \newtheorem{definition}{Определение} \newtheorem{example}{Пример}

\newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \newcommand{\ImOp}{\operatorname{Im}}

\title{Пространство линейных операторов и норма} \author{SAWiki} \date{}

\begin{document} \maketitle \begin{abstract} В этой статье вводится пространство линейных непрерывных операторов $\LL(X, Y)$ и изучается понятие нормы линейного оператора. Доказываются основные свойства нормы и её связь с ограниченностью операторов. \end{abstract}

\section{Пространство линейных операторов}

Пусть $\LL(X, Y)$ — множество всех линейных непрерывных операторов, действующих из $X$ в $Y$. Введём в $\LL(X, Y)$ операции сложения и умножения на скаляр: \[ (A + B)x = Ax + Bx, \quad (\lambda A)x = \lambda Ax. \] Множество $\LL(X, Y)$ с такими операциями образует линейное пространство.

Определение 1. Пусть $X$ — линейное пространство. Функция $\|\cdot\|: X \to \mathbb{R}$, определённая на $X$, является нормой, если выполнены аксиомы:

1. $\forall x \in X \|x\| \geq 0$; $\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0$,

2. $\forall x \in X$ $\forall \lambda \in \mathbb{R}$; $\|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\|$,

3. $\forall x, y \in X$; $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$.

Любая норма порождает метрику над $X$: $\rho(x,y) = \|x - y\|$.

Определение 2. Нормой линейного оператора $A \in \LL(X, Y)$ называется число \[ \|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|. \]

\section{Свойства нормы оператора}

Теорема 1. Функция $\|\cdot\| : \LL(X, Y) \to \mathbb{R}$ является нормой, т.е. удовлетворяет аксиомам:

1. $\forall A \in \LL(X, Y)$; $\|A\| \geq 0$; $\|A\| = 0 \Leftrightarrow A = 0$,

2. $\forall A \in \LL(X, Y)$ $\forall \lambda \in \mathbb{R}$; $\|\lambda A\| = |\lambda| \cdot \|A\|$,

3. $\forall A, B \in \LL(X, Y)$; $\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$.

Доказательство.

1) Очевидно, $\|A\| \geq 0$. Если $\|A\| = 0$, то $\|Ax\| = 0$ для всех $x$ с $\|x\| \leq 1$, откуда $A = 0$.

2) $\|\lambda A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|\lambda Ax\| = |\lambda| \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\| = |\lambda| \cdot \|A\|$.

3) Для любого $x$ с $\|x\| \leq 1$ имеем: \[ \|(A + B)x\| = \|Ax + Bx\| \leq \|Ax\| + \|Bx\| \leq \|A\| + \|B\|. \] Переходя к супремуму, получаем $\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$. $\square$

Понятие нормы линейного оператора позволяет изучать операторы как элементы нормированных пространств, применять к ним методы математического анализа и исследовать сходимость последовательностей операторов.

Докажем еще одно полезное утверждение для ограниченного оператора.

Теорема 2. Если $A$ — ограниченный линейный оператор, то справедлива оценка \[ \|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\| \] для всех $x \in X$, где $\|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|$.

Доказательство.

При $x = 0$ неравенство очевидно. Пусть $x \neq 0$, рассмотрим $x' = \frac{x}{\|x\|}$. Поскольку $\|x'\| = 1$, то по определению нормы $\|Ax'\| \leq \|A\|$. Подставляя $x'$, получим $\frac{\|Ax\|}{\|x\|} \leq \|A\|$, т.е. $\|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|$, что и требовалось доказать. $\square$

\section{Примеры и иллюстрации}

\subsection{Пример вычисления нормы оператора}

\begin{example} Рассмотрим оператор $A: \RR^2 \to \RR^2$, заданный матрицей: '"`UNIQ-MathJax5-QINU`"' Найдём его норму. Для любого $x = (x_1, x_2)$ с $\|x\| \leq 1$ имеем: '"`UNIQ-MathJax6-QINU`"' Максимум этого выражения при $x_1^2 + x_2^2 \leq 1$ достигается при $x_1 = 0$, $x_2 = 1$ и равен 3. Следовательно, $\|A\| = 3$. \end{example}

\subsection{Геометрическая интерпретация}

\begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=0.6\textwidth]{operator_norm.pdf} \caption{Геометрическая интерпретация нормы оператора} \label{fig:norm} \end{figure}

На Рис. \ref{fig:norm} показана геометрическая интерпретация нормы оператора: \begin{itemize} \item Единичная сфера в $X$ отображается в некоторое множество в $Y$ \item Норма оператора — это радиус наименьшего шара в $Y$, содержащего образ единичной сферы \item Красная стрелка показывает вектор, на котором достигается супремум \end{itemize}

\section{Приложения}

\begin{itemize} \item \textbf{Теория возмущений:} Норма оператора используется для оценки влияния малых возмущений на решение операторных уравнений. \item \textbf{Численные методы:} При приближённом решении уравнений важно оценивать нормы возникающих операторов. \item \textbf{Функциональный анализ:} Пространство $\LL(X, Y)$ с введённой нормой является банаховым пространством, если $Y$ — банахово пространство. \end{itemize}

\section*{См. также}

\begin{itemize} \item \href{http://sawiki.cs.msu.su/wiki/Линейный_оператор}{Линейный оператор} \item \href{http://sawiki.cs.msu.su/wiki/Банахово_пространство}{Банахово пространство} \item \href{http://sawiki.cs.msu.su/wiki/Ограниченный_оператор}{Ограниченный оператор} \item \href{https://ru.wikipedia.org/wiki/Норма_оператора}{Норма оператора — Википедия} \end{itemize}

\end{document}

Источник — http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=Сопряжённый_линейный_оператор&oldid=5136