|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | \documentclass[12pt]{article}
| |
| − | \usepackage[russian]{babel}
| |
| − | \usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
| |
| − | \usepackage{graphicx}
| |
| − | \usepackage[colorlinks=true, urlcolor=blue]{hyperref}
| |
| | | | |
| − | \newtheorem{theorem}{Теорема}
| |
| − | \newtheorem{definition}{Определение}
| |
| − | \newtheorem{example}{Пример}
| |
| − |
| |
| − | \newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
| |
| − | \newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
| |
| − | \newcommand{\LL}{\mathcal{L}}
| |
| − | \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
| |
| − | \newcommand{\ImOp}{\operatorname{Im}}
| |
| − |
| |
| − | \title{Пространство линейных операторов и норма}
| |
| − | \author{SAWiki}
| |
| − | \date{}
| |
| − |
| |
| − | \begin{document}
| |
| − |
| |
| − | \maketitle
| |
| − |
| |
| − | \begin{abstract}
| |
| − | В этой статье вводится пространство линейных непрерывных операторов $\LL(X, Y)$ и изучается понятие нормы линейного оператора. Доказываются основные свойства нормы и её связь с ограниченностью операторов.
| |
| − | \end{abstract}
| |
| − |
| |
| − | \section{Пространство линейных операторов}
| |
| − |
| |
| − | Пусть $\LL(X, Y)$ — множество всех линейных непрерывных операторов, действующих из $X$ в $Y$. Введём в $\LL(X, Y)$ операции сложения и умножения на скаляр:
| |
| − | \[
| |
| − | (A + B)x = Ax + Bx, \quad (\lambda A)x = \lambda Ax.
| |
| − | \]
| |
| − | Множество $\LL(X, Y)$ с такими операциями образует линейное пространство.
| |
| − |
| |
| − | '''Определение 1.''' Пусть $X$ — линейное пространство. Функция $\|\cdot\|: X \to \mathbb{R}$, определённая на $X$, является нормой, если выполнены аксиомы:
| |
| − |
| |
| − | 1. $\forall x \in X \|x\| \geq 0$; $\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0$,
| |
| − |
| |
| − | 2. $\forall x \in X$ $\forall \lambda \in \mathbb{R}$; $\|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\|$,
| |
| − |
| |
| − | 3. $\forall x, y \in X$; $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$.
| |
| − |
| |
| − | Любая норма порождает метрику над $X$: $\rho(x,y) = \|x - y\|$.
| |
| − |
| |
| − | '''Определение 2.''' '''Нормой линейного оператора''' $A \in \LL(X, Y)$ называется число
| |
| − | \[
| |
| − | \|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|.
| |
| − | \]
| |
| − |
| |
| − | \section{Свойства нормы оператора}
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема 1.''' Функция $\|\cdot\| : \LL(X, Y) \to \mathbb{R}$ является нормой, т.е. удовлетворяет аксиомам:
| |
| − |
| |
| − | 1. $\forall A \in \LL(X, Y)$; $\|A\| \geq 0$; $\|A\| = 0 \Leftrightarrow A = 0$,
| |
| − |
| |
| − | 2. $\forall A \in \LL(X, Y)$ $\forall \lambda \in \mathbb{R}$; $\|\lambda A\| = |\lambda| \cdot \|A\|$,
| |
| − |
| |
| − | 3. $\forall A, B \in \LL(X, Y)$; $\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$.
| |
| − |
| |
| − | ''Доказательство.''
| |
| − |
| |
| − | 1) Очевидно, $\|A\| \geq 0$. Если $\|A\| = 0$, то $\|Ax\| = 0$ для всех $x$ с $\|x\| \leq 1$, откуда $A = 0$.
| |
| − |
| |
| − | 2) $\|\lambda A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|\lambda Ax\| = |\lambda| \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\| = |\lambda| \cdot \|A\|$.
| |
| − |
| |
| − | 3) Для любого $x$ с $\|x\| \leq 1$ имеем:
| |
| − | \[
| |
| − | \|(A + B)x\| = \|Ax + Bx\| \leq \|Ax\| + \|Bx\| \leq \|A\| + \|B\|.
| |
| − | \]
| |
| − | Переходя к супремуму, получаем $\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$. $\square$
| |
| − |
| |
| − | Понятие нормы линейного оператора позволяет изучать операторы как элементы нормированных пространств, применять к ним методы математического анализа и исследовать сходимость последовательностей операторов.
| |
| − |
| |
| − | Докажем еще одно полезное утверждение для ограниченного оператора.
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема 2.''' Если $A$ — ограниченный линейный оператор, то справедлива оценка
| |
| − | \[
| |
| − | \|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|
| |
| − | \]
| |
| − | для всех $x \in X$, где $\|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|$.
| |
| − |
| |
| − | ''Доказательство.''
| |
| − |
| |
| − | При $x = 0$ неравенство очевидно. Пусть $x \neq 0$, рассмотрим $x' = \frac{x}{\|x\|}$. Поскольку $\|x'\| = 1$, то по определению нормы $\|Ax'\| \leq \|A\|$. Подставляя $x'$, получим $\frac{\|Ax\|}{\|x\|} \leq \|A\|$, т.е. $\|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|$, что и требовалось доказать. $\square$
| |
| − |
| |
| − | \section{Примеры и иллюстрации}
| |
| − |
| |
| − | \subsection{Пример вычисления нормы оператора}
| |
| − |
| |
| − | \begin{example}
| |
| − | Рассмотрим оператор $A: \RR^2 \to \RR^2$, заданный матрицей:
| |
| − | \[
| |
| − | A = \begin{pmatrix}
| |
| − | 2 & 0 \\
| |
| − | 0 & 3
| |
| − | \end{pmatrix}.
| |
| − | \]
| |
| − | Найдём его норму. Для любого $x = (x_1, x_2)$ с $\|x\| \leq 1$ имеем:
| |
| − | \[
| |
| − | \|Ax\| = \sqrt{(2x_1)^2 + (3x_2)^2} = \sqrt{4x_1^2 + 9x_2^2}.
| |
| − | \]
| |
| − | Максимум этого выражения при $x_1^2 + x_2^2 \leq 1$ достигается при $x_1 = 0$, $x_2 = 1$ и равен 3. Следовательно, $\|A\| = 3$.
| |
| − | \end{example}
| |
| − |
| |
| − | \subsection{Геометрическая интерпретация}
| |
| − |
| |
| − | \begin{figure}[h]
| |
| − | \centering
| |
| − | \includegraphics[width=0.6\textwidth]{operator_norm.pdf}
| |
| − | \caption{Геометрическая интерпретация нормы оператора}
| |
| − | \label{fig:norm}
| |
| − | \end{figure}
| |
| − |
| |
| − | На Рис. \ref{fig:norm} показана геометрическая интерпретация нормы оператора:
| |
| − | \begin{itemize}
| |
| − | \item Единичная сфера в $X$ отображается в некоторое множество в $Y$
| |
| − | \item Норма оператора — это радиус наименьшего шара в $Y$, содержащего образ единичной сферы
| |
| − | \item Красная стрелка показывает вектор, на котором достигается супремум
| |
| − | \end{itemize}
| |
| − |
| |
| − | \section{Приложения}
| |
| − |
| |
| − | \begin{itemize}
| |
| − | \item \textbf{Теория возмущений:} Норма оператора используется для оценки влияния малых возмущений на решение операторных уравнений.
| |
| − |
| |
| − | \item \textbf{Численные методы:} При приближённом решении уравнений важно оценивать нормы возникающих операторов.
| |
| − |
| |
| − | \item \textbf{Функциональный анализ:} Пространство $\LL(X, Y)$ с введённой нормой является банаховым пространством, если $Y$ — банахово пространство.
| |
| − | \end{itemize}
| |
| − |
| |
| − | \section*{См. также}
| |
| − |
| |
| − | \begin{itemize}
| |
| − | \item \href{http://sawiki.cs.msu.su/wiki/Линейный_оператор}{Линейный оператор}
| |
| − | \item \href{http://sawiki.cs.msu.su/wiki/Банахово_пространство}{Банахово пространство}
| |
| − | \item \href{http://sawiki.cs.msu.su/wiki/Ограниченный_оператор}{Ограниченный оператор}
| |
| − | \item \href{https://ru.wikipedia.org/wiki/Норма_оператора}{Норма оператора — Википедия}
| |
| − | \end{itemize}
| |
| − |
| |
| − | \end{document}
| |
