Сопряжённый линейный оператор

\title{Пространство линейных операторов и норма} \author{SAWiki} \date{}

\begin{document} \maketitle \begin{abstract} В этой статье вводится пространство линейных непрерывных операторов $\LL(X, Y)$ и изучается понятие нормы линейного оператора. Доказываются основные свойства нормы и её связь с ограниченностью операторов. \end{abstract}

\section{Пространство линейных операторов}

Пусть $\LL(X, Y)$ — множество всех линейных непрерывных операторов, действующих из $X$ в $Y$. Введём в $\LL(X, Y)$ операции сложения и умножения на скаляр: \[ (A + B)x = Ax + Bx, \quad (\lambda A)x = \lambda Ax. \] Множество $\LL(X, Y)$ с такими операциями образует линейное пространство.

Определение 1. Пусть $X$ — линейное пространство. Функция $\|\cdot\|: X \to \mathbb{R}$, определённая на $X$, является нормой, если выполнены аксиомы:

1. $\forall x \in X \|x\| \geq 0$; $\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0$,

2. $\forall x \in X$ $\forall \lambda \in \mathbb{R}$; $\|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\|$,

3. $\forall x, y \in X$; $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$.

Любая норма порождает метрику над $X$: $\rho(x,y) = \|x - y\|$.

Определение 2. Нормой линейного оператора $A \in \LL(X, Y)$ называется число \[ \|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|. \]

\section{Свойства нормы оператора}

Теорема 1. Функция $\|\cdot\| : \LL(X, Y) \to \mathbb{R}$ является нормой, т.е. удовлетворяет аксиомам:

1. $\forall A \in \LL(X, Y)$; $\|A\| \geq 0$; $\|A\| = 0 \Leftrightarrow A = 0$,

2. $\forall A \in \LL(X, Y)$ $\forall \lambda \in \mathbb{R}$; $\|\lambda A\| = |\lambda| \cdot \|A\|$,

3. $\forall A, B \in \LL(X, Y)$; $\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$.

Доказательство.

1) Очевидно, $\|A\| \geq 0$. Если $\|A\| = 0$, то $\|Ax\| = 0$ для всех $x$ с $\|x\| \leq 1$, откуда $A = 0$.

2) $\|\lambda A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|\lambda Ax\| = |\lambda| \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\| = |\lambda| \cdot \|A\|$.

3) Для любого $x$ с $\|x\| \leq 1$ имеем: \[ \|(A + B)x\| = \|Ax + Bx\| \leq \|Ax\| + \|Bx\| \leq \|A\| + \|B\|. \] Переходя к супремуму, получаем $\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$. $\square$

Понятие нормы линейного оператора позволяет изучать операторы как элементы нормированных пространств, применять к ним методы математического анализа и исследовать сходимость последовательностей операторов.

Докажем еще одно полезное утверждение для ограниченного оператора.

Теорема 2. Если $A$ — ограниченный линейный оператор, то справедлива оценка \[ \|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\| \] для всех $x \in X$, где $\|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|$.

Доказательство.

При $x = 0$ неравенство очевидно. Пусть $x \neq 0$, рассмотрим $x' = \frac{x}{\|x\|}$. Поскольку $\|x'\| = 1$, то по определению нормы $\|Ax'\| \leq \|A\|$. Подставляя $x'$, получим $\frac{\|Ax\|}{\|x\|} \leq \|A\|$, т.е. $\|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|$, что и требовалось доказать. $\square$

\section{Примеры и иллюстрации}

\subsection{Пример вычисления нормы оператора}

\begin{example} Рассмотрим оператор $A: \RR^2 \to \RR^2$, заданный матрицей: '"`UNIQ-MathJax5-QINU`"' Найдём его норму. Для любого $x = (x_1, x_2)$ с $\|x\| \leq 1$ имеем: '"`UNIQ-MathJax6-QINU`"' Максимум этого выражения при $x_1^2 + x_2^2 \leq 1$ достигается при $x_1 = 0$, $x_2 = 1$ и равен 3. Следовательно, $\|A\| = 3$. \end{example}

\end{document}